分擔(dān)一個(gè)或兩個(gè)小函數(shù)的整函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的唯一性.pdf

1、二十世紀(jì)二十年代，芬蘭數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna引進(jìn)亞純函數(shù)的特征函數(shù)，建立了Nevanlinna理論，是二十世紀(jì)最重大的數(shù)學(xué)成就之一，這不僅因?yàn)樗於爽F(xiàn)代亞純函數(shù)理論的基礎(chǔ)，而且對(duì)數(shù)學(xué)許多分支的發(fā)展，交叉和融合產(chǎn)生了重大而深遠(yuǎn)的影響。半個(gè)多世紀(jì)以來，Nevanlinna理論研究在不斷發(fā)展，而且在復(fù)微分方程振蕩理論，亞純函數(shù)唯一性理論研究等方面有著廣泛的應(yīng)用。特別是在復(fù)域中常微分方程大范圍解析解的研究中(參看[15])，Nevan

2、linna理論的成功介入，不但為之提供了十分重要的研究工具，而且使得這一學(xué)科的發(fā)展充滿了生機(jī)。而在亞純函數(shù)唯一性理論研究方面，1929年，R.Nevanlinna(參看[20])利用他剛建立不久的亞純函數(shù)值分布理論，研究了決定一個(gè)亞純函數(shù)所需要的條件，得到了兩個(gè)著名的亞純函數(shù)唯一性定理，它們通常被稱為Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理。從此，亞純函數(shù)唯一性理論，特別是涉及公共值的亞純函數(shù)唯一性的研究拉開啟了發(fā)端。

3、 半個(gè)多世紀(jì)以來，日本，中國，德國，英國，前蘇聯(lián)和美國的許多數(shù)學(xué)家都曾致力于亞純函數(shù)唯一性理論的研究，使之稱為復(fù)分析領(lǐng)域至今仍比較活躍的一個(gè)重要分支；期間所形成的獨(dú)特的思想方法與研究技巧，為其它數(shù)學(xué)分支，如代數(shù)體函數(shù)，Non-Archimedean域上的亞純函數(shù)，乃至一般流形上的亞純映射的唯一性及相關(guān)問題的研究，提供了十分重要的啟示與借鑒。 近二十年來，儀洪勛教授在亞純函數(shù)唯一性理論的研究中，獨(dú)樹一幟。他在這一領(lǐng)域所做的

4、原創(chuàng)性工作(參看[2][25])，吸引了國內(nèi)外學(xué)者，數(shù)學(xué)家，甚至著名數(shù)學(xué)家的研究興趣，從而有力地推動(dòng)了亞純函數(shù)唯一性理論的發(fā)展，也為中國在這一領(lǐng)域的國際地位做出了重要貢獻(xiàn).李效敏教授在亞純函數(shù)唯一性理論研究中比較活躍，作了許多研究工作，得到了國內(nèi)外同行的關(guān)注。不僅如此，他還在復(fù)微分方程和亞純函數(shù)正規(guī)族的研究中得到不少突出的結(jié)果，例如他在Brück猜想和Gundersen問題等方面作了許多研究工作。 本文介紹作者在李效敏教授的精心

5、指導(dǎo)下所完成的一些研究工作。全文共分三章： 第一章，主要介紹與本文有關(guān)的Nevanlinna基礎(chǔ)理論中的主要概念，常用記號(hào)及經(jīng)典結(jié)果。 對(duì)整函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)具有公共值的唯一性問題的研究，由L.A.Rubel和C.C.Yang首開先河。爾后,國外著名的復(fù)分析專家，如E.Mues，G.Frank，N.Steinmetz，G.G.Gundersen，G.Jank，L.Volkamn等人以及一些中國學(xué)者，分別從不同的角度將這一課題的

6、研究不斷引向深入。至今，仍有一些問題尚未解決。不僅如此，1992年，W.Schwick(參看[24])發(fā)現(xiàn)，整函數(shù)的正規(guī)性和該函數(shù)族中的函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是否具有公共值這一性質(zhì)，有著十分緊密的聯(lián)系.由于正規(guī)族理論在復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的研究中的特殊地位，他的這一發(fā)現(xiàn)立即吸引了國內(nèi)外許多學(xué)者的注意，這無疑使函數(shù)公共值問題的研究更具有活力，也更有意義。 在本文的第二章，我們主要研究整函數(shù)及其k階導(dǎo)數(shù)分擔(dān)一個(gè)公共小整函數(shù)的唯一性問題，兩個(gè)主要結(jié)果改進(jìn)

7、了Bruck和楊連中等人的結(jié)果。下面是主要定理: 定理1:設(shè)f是微分方程f(k)-eαf=0的非常數(shù)解，超階v(f)<∞，令k是一個(gè)正整數(shù)，則α是一個(gè)多項(xiàng)式且v(f)=γα，其中γα表示的α次數(shù)。 定理2:設(shè)Q(z)是一個(gè)非常數(shù)的多項(xiàng)式，k是一個(gè)正整數(shù)。如果f是微分方程f(k)-α=(f-α)eQ(z)的解，其中α(不恒等于∞)是廠的小整函數(shù)滿足σ(α)<γQ，γQ表示Q(z)的次數(shù)，則v(f)=γQ且f是一個(gè)無窮階的整