整函數(shù)唯一性定理的兩個(gè)結(jié)果.pdf

1、二十世紀(jì)二十年代，芬蘭數(shù)學(xué)家R．Nevanlinna引進(jìn)了亞純函數(shù)的特征函數(shù)，并以此創(chuàng)立了Nevanlinna值分布理論，成為二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就之一。它不僅奠定了現(xiàn)代亞純函數(shù)理論的基礎(chǔ)，并且對(duì)其他許多數(shù)學(xué)分支的交叉和融合產(chǎn)生了重要的影響。特別是在復(fù)數(shù)域中常微分方程大范圍解析解的研究中，由于Nevanlinna理論的成功運(yùn)用，不但為之提供了十分重要的研究工具，而且使得這一學(xué)科的發(fā)展充滿生機(jī)。R．Nevanlinna利用他所創(chuàng)立的亞純

2、函數(shù)值分布理論，研究了確定一個(gè)亞純函數(shù)所需要的條件，得到著名的Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理，從此拉開了唯一性理論研究的序幕。 半個(gè)多世紀(jì)以來，國外數(shù)學(xué)家F．Gross，M．Ozawa，G．Frank，E．Mues，N．Steinmetz，H．Ueda，G．Gundersen及我國數(shù)學(xué)家熊慶來、楊樂等在值分布理論方面取得了一系列令人矚目的結(jié)果，使之得到了蓬勃的發(fā)展。 本文的結(jié)果與復(fù)平面上整函數(shù)

3、(或亞純函數(shù))與其導(dǎo)數(shù)的唯一性問題有關(guān)。該問題不僅有其自身的理論價(jià)值，而且由于該問題與正規(guī)族理論密切相關(guān)，因而值得進(jìn)一步研究。全文共分四章： 第一章，簡要介紹唯一性理論發(fā)展的歷史。 第二章，簡要介紹唯一性理論的主要概念、基本結(jié)果和常用符號(hào)。 第三章，我們主要研究了與導(dǎo)數(shù)分擔(dān)有理函數(shù)的整函數(shù)。常建明和方明亮證明了如下定理，從而就整函數(shù)情形完整回答了“儀—楊”問題： 定理1設(shè)f是非常數(shù)整函數(shù)，α是非零有窮復(fù)數(shù)

4、，k，m是兩個(gè)互相判別的正整數(shù)。如果f，f(k)，f(m)CM分擔(dān)α，則f(k)=f(m)。 我們證明了： 定理2設(shè)f是超越整函數(shù)，R是非常數(shù)有理函數(shù)，k，m是兩個(gè)互相判別的正整數(shù)。如果f，f(k)，f(m)CM分擔(dān)R，那么f(k)=f(m)。 第四章，我們主要研究了與導(dǎo)數(shù)分擔(dān)小函數(shù)的整函數(shù)。G．Gundersen和楊連中證明了如下結(jié)果： 定理3設(shè)f是有窮級(jí)整函數(shù)，α是復(fù)數(shù)，。如果f，f'CM分擔(dān)α，那么

5、f—α≡c(f'—α)，其中c是非零常數(shù)。 我們將上述定理中的常數(shù)α推廣到了小函數(shù)，得到如下結(jié)果： 定理4設(shè)f是有窮級(jí)整函數(shù)，α是級(jí)小于f的整函數(shù)，如果f，f'CM分擔(dān)α，那么f—α≡c(f'—α)，其中c是非零常數(shù)。 文中“整函數(shù)”是指在整個(gè)復(fù)平面上解析的函數(shù)，而“亞純函數(shù)”是指在整個(gè)復(fù)平面上除極點(diǎn)外沒有其他類型奇點(diǎn)的單值解析函數(shù)。 兩個(gè)函數(shù)(兩個(gè)整函數(shù)或兩個(gè)亞純函數(shù))f和gCM分擔(dān)一函數(shù)α的意思是指f