涉及擬公共值和小函數(shù)的亞純函數(shù)與導函數(shù)的唯一性定理.pdf

1、二十世紀二十年代,芬蘭數(shù)學家R.Nevanlinna引進了亞純函數(shù)的特征函數(shù),并建立了兩個理論,被稱為Nevanlinna定理(值分布論);他所創(chuàng)建的這一理論也是二十世紀最重大的數(shù)學成就之一,是現(xiàn)代亞純函數(shù)的基礎(chǔ).半個多世紀以來,R.Nevanlinna理論研究在不斷發(fā)展,而且在復微分方程震蕩理論、亞純函數(shù)的唯一性理論研究等方面有著廣泛的應用.亞純函數(shù)的唯一性理論,是近幾十年來國際上較為活躍的研究課題,有著極為豐富的研究內(nèi)容,涉及公共值

2、的亞純函數(shù)唯一性問題理論研究起源于R.Nevanlinna的一些研究工作,他不僅為唯一性問題研究奠定了理論基礎(chǔ),還為亞純函數(shù)唯一性理論方面的研究與發(fā)展注入了新的活力.他所建立的5IM公共值定理,4CM公共值定理等都是這一研究領(lǐng)域的經(jīng)典結(jié)果.從二十世紀三十年代末到五十年代中期,唯一性理論的研究處于停滯狀態(tài),直到二十世紀五十年代末,我國著名數(shù)學家熊慶來和楊樂等在這一方面取得了一些深刻的結(jié)果.隨著亞純函數(shù)唯一性理論的不斷發(fā)展與完善,一些問題得

3、到了解決,新的研究問題又不斷出現(xiàn),如F.Gross問題,R.Brück猜想,Yi-Yang問題及A.Hinkkanen問題,都是許多數(shù)學家所關(guān)注的研究對象,F.Gross,G.G.Gundersen,G.Frank,E.Mues等數(shù)學家都獲得了不少研究成果.
　　 近二十年來,儀洪勛教授在亞純函數(shù)唯一性理論的研究中,獨樹一幟.他在這一領(lǐng)域所做的原創(chuàng)性工作(參見[1][2]),吸引了國內(nèi)外學者,著名數(shù)學家的研究興趣,從而有力地推動

4、了亞純函數(shù)唯一性理論的發(fā)展,也為中國在這一領(lǐng)域的國際地位做出了重要貢獻.李效敏教授在亞純函數(shù)唯一性理論研究中比較活躍,作了許多研究工作,得到了國內(nèi)外同行的關(guān)注.不僅如此,他還在復微分方程和亞純函數(shù)正規(guī)族的研究中得到不少突出的結(jié)果,例如他在Brück猜想和Gundersen問題等方面作了許多研究工作(參見[3][4][5]).
　　 本文介紹了作者在導師的精心指導下所完成的一些研究工作.全文共分三章.
　　 第一章,主要介

5、紹Nevanlinna理論中的主要概念,常用記號及經(jīng)典結(jié)果.
　　 第二章,主要研究了亞純函數(shù)的導函數(shù)分擔四個小函數(shù)或四個值的唯一性問題,兩個主要結(jié)果,改進了R.Nevanlinna,G.G.Gundersen,L.Yang,G.D.Qiu 等人的結(jié)果.下面是主要定理.
　　 定理1 f和g是兩個非常數(shù)亞純函數(shù),b1,b2,b3,b4是四個判別的函數(shù)且{b1,b2,b3,b4}(∈)∈{S(f)∩S(g)}.如-ED(O

6、,f(k)-6j)=ED(O,g(k)-6j)(j=1,2,3,4),這里,l(≥1)和k(≥1)是正整數(shù),使得1/l+1/k+1·(1+1/l)＜1,則f(k)=g(k)·定理2 f和g是兩個非常數(shù)亞純函數(shù),b1,b2,b3是三個判別的有窮值,如果f(k)和g(k)是兩個判別的非常數(shù)亞純函數(shù)且IM分擔b1,b2,b3,∞,這里k(≥)是一個正整數(shù),則f和g是正規(guī)增長的,且有相同的增長級,級是正整數(shù)或無窮.
　　 第三章,我們主

7、要研究非線性微分多項式分擔一個非零擬公共值的亞純函數(shù)的唯一性問題,得到一個主要結(jié)果,改進了C.Y.Fang and M.L.Fang.,I.Lahiri and Mandal,A.Banerjee等人的有關(guān)結(jié)果.下面是主要定理.定理3 設(shè)f與g是兩個非常數(shù)的亞純函數(shù),且滿足E2)(1,fn(af2+bf+c)f')=E2)(1,gn(ag2+bg+c)g'),這里a≠0,b和c是復數(shù),且滿足|b|+|c|≠0,n是一個正整數(shù)且滿足n＞1