關(guān)于幾類橢圓型方程解的存在性研究.pdf

1、本文主要研究幾類非線性橢圓型方程解的存在性.全文共分四章:
　　在第一章中，主要闡述本文所討論問題的背景及研究現(xiàn)狀，并簡(jiǎn)要介紹本文的主要工作.
　　在第二章中，研究下述帶有對(duì)稱位勢(shì)函數(shù)的x(2)二次諧波SHG(Second Harmonic Generation)系統(tǒng):{-△v+P(|x|)v=μvw,x∈RN，-△w+Q(|x|)w=μ/2v2+γw2,x∈RN.同步正解的存在性，其中2≤N＜6，μ＞0且μ＞γ.我們建立了

2、該系統(tǒng)的非退化性.有了這個(gè)系統(tǒng)的非退化性，我們利用Liapunov-Schmidt約化構(gòu)造出該系統(tǒng)的無(wú)窮多個(gè)非徑向?qū)ΨQ的同步正解.
　　在第三章中，考慮在RN(2≤N＜6)中的帶有非對(duì)稱位勢(shì)的x(2)二次諧波系統(tǒng):{-△u+(1+∈P(x))u=μuv，x∈RN，-△v+(1+∈Q(x))v=μ/2u2+γv2，x∈RN，其中位勢(shì)函數(shù)‘P(x)，Q(x)是滿足某適當(dāng)退化性的連續(xù)函數(shù)，而且不需要任何對(duì)稱性質(zhì)，∈為一正常數(shù)，μ和γ都是

3、參數(shù).我們對(duì)具有非對(duì)稱位勢(shì)函數(shù)的問題提出了新的結(jié)論，使用方法有別于前一章.主要利用Liapunov-Schmidt約化方法.目前我們有兩個(gè)主要的困難.首先，要證明極大值點(diǎn)不會(huì)跑到無(wú)窮遠(yuǎn)處，這點(diǎn)可以由對(duì)于位勢(shì)函數(shù)的慢衰減性假設(shè)可以保證.其次，當(dāng)波峰靠近位形空間的邊界時(shí)，我們要注意到其能量的差.這個(gè)關(guān)鍵的估計(jì)將在一個(gè)引理中給出.在引理中給出了從第m步到第(m+1)步所產(chǎn)生的累積誤差是可控的.
　　在第四章中，主要考慮分?jǐn)?shù)階的帶有Har