非可加概率和倒向隨機(jī)微分方程的研究.pdf

1、非可加集合函數(shù)，比如外測(cè)度，早在經(jīng)典測(cè)度理論的初期就已出現(xiàn).經(jīng)典測(cè)度理論主要研究可數(shù)可加集合函數(shù)和更一般的有限可加集合函數(shù)。Choquet于1953年最早的提出了非可加集合函數(shù)理論，即他的容度理論。這個(gè)理論無論在數(shù)學(xué)，還是科學(xué)技術(shù)的其它不同領(lǐng)域都產(chǎn)生了巨大的影響.非可加集合函數(shù)應(yīng)用廣泛，在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，決策理論，和人工智能等不同領(lǐng)域被叫作不同的名字，比如合作博弈，容度，或者模糊測(cè)度.近年來，很多學(xué)者深入研究了不同類型的非可加集合函數(shù)，比如上

2、概率，信念函數(shù)，二次交替容度，零可加集合函數(shù)，以及其它各種形式的集合函數(shù)（見[29]，[31]，[49]，[84]，[88]等）從倒向隨機(jī)微分方程引出的g-概率就是其中之一.Pardoux和Peng[69]引入了一類倒向隨機(jī)微分方程，并且證明了其解的存在唯一性.自此，倒向隨機(jī)微分方程不僅在其自身理論方面得到了迅猛的發(fā)展（見[26]，[50]等），在金融數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中也成為一強(qiáng)有力的工具（見[58]，[59]等）Peng[71]通過倒向

3、隨機(jī)微分方程引進(jìn)了g-期望.在生成元g和終端值ξ滿足一定的可積條件下，隨機(jī)變量ξ的g-期望保持了經(jīng)典數(shù)學(xué)期望除線性之外的其它一些基本性質(zhì).由g-期望自然的可以定義一類非可加概率：g-概率. 本文致力于非可加概率和倒向隨機(jī)微分方程的研究.主要結(jié)果如下： 1.在上概率和二次交替容度下，分別證明了兩兩負(fù)相關(guān)隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律. 2.研究了g-概率的二次交替性，證明了g-概率的切比雪夫不等式，g-概率下的大數(shù)定律，介

4、紹了g-概率下隨機(jī)變量的方差，相關(guān)性和相關(guān)系數(shù)的定義及其性質(zhì). 3.給出了廣義的變分公式，并且利用倒向隨機(jī)微分方程的方法證明了一些結(jié)論。 本文共包括三章，下面給出每一章的主要內(nèi)容. 第一章，我們研究容度下的大數(shù)定律.我們考慮了兩兩負(fù)相關(guān)隨機(jī)變量序列，分別證明了在上概率和二次交替容度下的大數(shù)定律.對(duì)于上概率，我們自然的想到利用經(jīng)典測(cè)度理論中的已有結(jié)果，得出我們的結(jié)論。對(duì)于二次交替容度，由于它對(duì)應(yīng)的Choquet積分

5、具有次可加性，通過建立非可加概率下的切比雪夫不等式和波雷爾-坎特利引理，得到了更強(qiáng)的結(jié)果.我們可以看到，對(duì)上概率來說，極限值在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，但是對(duì)于二次交替容度，極限值仍舊是一個(gè)數(shù)。下面給出本章的核心定理。 下面的兩個(gè)定理分別給出兩兩負(fù)相關(guān)隨機(jī)變量序列在上概率下的強(qiáng)、弱大數(shù)定律. 第二章，我們研究從倒向隨機(jī)微分方程引入的一類非可加概率：g-概率.Pardoux和Peng[69]證明了在函數(shù)g滿足假設(shè)（H1）：平方可積條件，

6、和（H2）：Lipschitz條件下，下面的倒向隨機(jī)微分方程存在唯一的適應(yīng)解.如果函數(shù)g還滿足假設(shè)（H3）：對(duì)任意的（y，t），g（y，0，t）=0，那么y0（ξ），記為εg[ξ]，稱為ξ的g-期望.特別的對(duì)于事件A，εg[IA]，記為Pg（A），稱為A的g-概率.顯而易見，g-概率是一類容度.本章圍繞g-概率的性質(zhì)，四個(gè)方面展開我們的研究.倒向隨機(jī)微分方程可以作為研究g-概率的一個(gè)有利工具，這是其它非可加概率所不及的。 首先，

7、我們給出g-概率和二次交替容度的關(guān)系.目前對(duì)于容度的研究大多致力于二次交替容度.從以往對(duì)于g-概率和二次交替容度關(guān)系的研究，我們看到很難建立它們之間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。但是當(dāng)g是一個(gè)奇函數(shù)的時(shí)候，可以證明，如果g-概率是二次交替的，那么它一定是線性的。 定理2.2.6假設(shè)函數(shù)g滿足條件（H2）和（H3），且g是一個(gè)奇函數(shù)。那么下面的兩個(gè)條件等價(jià)： （1）Pg是二次交替的。 （2）Pg是線性的。 其次，我們考慮

8、切比雪夫不等式.切比雪夫不等式在證明各種大數(shù)定律中起到了基本的作用，是現(xiàn)代概率理論中一個(gè)重要的工具.我們自然的要問：在什么樣的假設(shè)條件下，g-概率也滿足切比雪夫不等式?在這章，我們就要解決這個(gè)問題.在函數(shù)g滿足（H2）和（H3）的條件下，如果g還滿數(shù)定律和P中概率下廣義的大數(shù)定律的關(guān)系，從而得到了這樣的結(jié)論：如果想確立g-概率下的大數(shù)定律，我們只需要研究P中概率測(cè)度下對(duì)應(yīng)的大數(shù)定律. 定理2.4.16令Pg是g-概率，{Xn}n

9、∈N是L2（Ω，F(xiàn)，P）中的隨機(jī)變量序列.假設(shè)存在P中概率測(cè)度Q0，使得（Xn}n∈N在Q0下服從廣義下的弱（強(qiáng)）大數(shù)定律，那么{Xn}n∈N在Pg下服從廣義下的弱（強(qiáng)）大數(shù)定律. 定理2.4.18令Pg是g-概率，{Xn}n∈N是L2（Ω，F(xiàn)，P）中的隨機(jī)變量序列.假設(shè){Xn}n∈N在Pg下服從廣義下的弱（強(qiáng)）大數(shù)定律，那么對(duì)于P中任意的概率測(cè)度Q，都有{Xn}n∈N在Q下服從廣義下的弱（強(qiáng)）大數(shù)定律. 切比雪夫不等式

10、在證明各種形式的大數(shù)定律中起了重要的作用.基于我們得到的g-概率下的切比雪夫不等式，下面給出由其推導(dǎo)出的g-概率下的一個(gè)弱大數(shù)定律. 定理2.4.23令{Xn}n∈N是L2（Ω，F(xiàn)，P）中的隨機(jī)變量序列.假設(shè)函數(shù)g滿足條件（H2），（H3），且g是正齊的。記Sn=（）如果當(dāng)n→∞。時(shí)，（）那么{Xn}n∈N在g-概率下服從弱大數(shù)定律.即，對(duì)（）ε>0， 在第二章的最后，我們引入了在g-期望的框架下，隨機(jī)變量的方差，相關(guān)性