平方增長(zhǎng)的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程.pdf

1、自Buckdahn，Djehiche，Li和Peng首次引入平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程以后，這類方程便受到廣泛關(guān)注。Du，Li和Wei考慮了一維帶連續(xù)系數(shù)的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程。學(xué)者們發(fā)現(xiàn)此類方程同偏微分方程、隨機(jī)控制以及隨機(jī)微分對(duì)策等不同領(lǐng)域中的問(wèn)題聯(lián)系緊密。然而，在以往的工作中，對(duì)方程生成元的假設(shè)均較強(qiáng)。
　　在本文中，我們首先證明當(dāng)終端有界時(shí)，生成元在不同假設(shè)下，平方增長(zhǎng)的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程解的存在性。另一方面，經(jīng)典的平均

2、場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程都是基于自然信息流的（由布朗運(yùn)動(dòng)生成），本文還考慮了一類關(guān)于一般信息流的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程。因此，論文內(nèi)容主要可分為兩個(gè)部分。
　　第一部分:我們討論了在不同假設(shè)下的一維平方增長(zhǎng)的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程Yt=ξ+∫Tt E'[f（s，Y's，Ys，Zs）]ds-∫Tt ZsdWs,0≤t≤T(1)解的性質(zhì)，這里“平方增長(zhǎng)”主要是指生成元f(t，y'，y，z)關(guān)于z平方增長(zhǎng)。由于終端值ξ無(wú)界的情形較為復(fù)雜且不易

3、處理，因此，我們對(duì)方程(1)的討論均是在終端值有界的框架下進(jìn)行的。
　　第一，我們證明了當(dāng)生成元f連續(xù)且關(guān)于y'單調(diào)遞增、關(guān)于y超線性增長(zhǎng)、關(guān)于z二次增長(zhǎng)時(shí)，|f(t，y'，y，z)|≤l(y)+C|z|2，其中l(wèi)為一函數(shù)類中的嚴(yán)格正值連續(xù)函數(shù)，(1)存在最大有界解。由于平方增長(zhǎng)的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程結(jié)構(gòu)的特殊性，我們利用指數(shù)變換法，通過(guò)考慮其相應(yīng)等價(jià)方程解的存在性來(lái)研究方程(1)的解。我們選取了一列連續(xù)函數(shù)序列去逼近等價(jià)方程的

4、生成元，這與以往利用Lipschitz函數(shù)序列逼近的方法有所差別。同時(shí)，我們得到在此類假設(shè)下，方程(1)亦有相應(yīng)的比較定理，比較定理對(duì)后面的推廣起到了關(guān)鍵作用。
　　第二，我們證明了若生成元f關(guān)于y滿足單調(diào)性條件，(f(t，y'，y，z)-f(t，y'，0，z)）y≤μy2對(duì)某常數(shù)μ≥0，以及關(guān)于z平方增長(zhǎng)且|f(t，y'，y，z)|≤ψ（|y|）+A|z|2對(duì)某連續(xù)非遞減函數(shù)ψ:R+→R+及常數(shù)A≥0，此時(shí)方程(1)存在一最大有

5、界解。
　　第三，我們得到了一個(gè)一般性的結(jié)果。當(dāng)生成元f(t，y'，y，z)關(guān)于y'單調(diào)遞增、關(guān)于（y'，y）線性增長(zhǎng)以及關(guān)于z二次增長(zhǎng)時(shí)，|f(t，y'，y，z)|≤C（1+|y'|+|y|+|z|2），方程(1)存在一最大有界解。
　　第二部分:本文推廣了一類關(guān)于一般信息流的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程，形式如下Yt=ξ+∫Tt E'[f(s，Y's，Ys)]ds-（MT-Mt），(2)其中M為關(guān)于該信息流適應(yīng)的“右連左極”鞅

6、。我們考慮生成元f滿足如下假設(shè):
　　(M1)(E)[∫T0|f(t，0，0)|2]＜∞;
　　(M2)存在常數(shù)C＞0，使得對(duì)所有的(y1，y2，z1，z2)∈R4，|f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)|≤C(|y1-y2|+|z1-z2|),P-a.s.;
　　(M3)存在兩正值、確定性函數(shù)u(t)，v(t)，使得對(duì)所有的(y1，y2，z1，z2)∈R4,|f(t，y1,z1)-f(t，y2，z2)|≤u(t

7、)|y1-y2|+v(t)|z1-z2|,P-a.s.,
　　其中∫T0[u(t)+v(t)]dt＜+∞;
　　(M4)存在常數(shù)C＞0，使得(y1-y2)(f(t，y'1，y1)-f(t，y'2，y2)）≤C|y1-y2|2，P-a.s.;
　　(M5) f(t，y'，y)關(guān)于y'，y連續(xù)，且存在一正值確定性函數(shù)A(t)，使得對(duì)所有的y'，y∈R，|f(t，y'，y)|≤A(t)，P-a.s.其中∫T0A(s)ds＜∞

8、。
　　我們分別證明了當(dāng)生成元f滿足假設(shè)條件(M1)+(M2)，(M1)+(M3)，(M1)+(M4)+(M5)時(shí)，(2)在S2×M2空間存在唯一解。
　　最后，在此基礎(chǔ)上，我們又討論了一類帶反射的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程，形如{ Yt=ξ+∫Tt E'[(s，Y's，Ys)]ds+KT-Kt-(MT-Mt)Yt≥Lt，(3)K00，∫T0(Yt-Lt)dKt=0并得到當(dāng)生成元f滿足假設(shè)(M1)和(M2)時(shí)，(3)存在唯一解。