擬線性橢圓方程若干問題的研究.pdf

1、在偏微分方程的理論研究中，二階擬線性橢圓型偏微分方程的研究是非常重要的。它與工業(yè)、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)聯(lián)系緊密，而且在信息科學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)和物理學(xué)中的空氣動(dòng)力學(xué)、氣象學(xué)、流體力學(xué)中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。如：物理學(xué)中的許多問題都可以歸結(jié)為二階擬線性橢圓型偏微分方程及方程組的問題。而其中的A-調(diào)和型方程，在擬正則映射、彈性力學(xué)和物理學(xué)中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。二階擬線性橢圓型偏微分方程解的適定性包括解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性等。人們最開始研究方程的古典

2、解，進(jìn)而研究方程的弱解和很弱解。所謂二階擬線性橢圓型方程-divA(x,u,Du)=f(x)的弱解指的是：如果對所有的Φ∈C∞0(Ω)，都有∫ΩA(x,u,Du)DΦdx=∫Ωf(x)Φdx成立，那么函數(shù)u∈W,1 p0(Ω)稱為方程的弱解。而很弱解的定義最早是在1992年，由T.Iwaniec [1]提出的，二階擬線性橢圓型方程-divA(x,u,Du)=f(x)的很弱解指的是：如果對所有的Φ∈C∞0(Ω)，都有：∫ΩA(x,u,Du

3、)DΦdx =∫Ωf(x)DΦdx 成立，那么函數(shù)u∈W1,r0(Ω)(max{1,p-1}≤r≤p)稱為方程的很弱解。目前，關(guān)于二階擬線性偏微分方程的弱解、很弱解在不同空間、不同限制條件下的適定性的研究已經(jīng)有了一些結(jié)果。比如對方程弱解、很弱解的存在性、唯一性的研究已經(jīng)有了很多的結(jié)論，本文將在緒論中做詳細(xì)的說明。而對方程弱解、很弱解的穩(wěn)定性的研究所見結(jié)果不多。解的穩(wěn)定性即解的連續(xù)依賴性，它依賴的指標(biāo)可以是算子的可積指數(shù)，也可以是邊界條件

4、，還可以是其他參數(shù)。
　　 本文在已有結(jié)論的基礎(chǔ)上，研究了二階擬線性橢圓型方程-divA(x，u,Du)=f(x)弱解梯度的一致估計(jì)、方程-divA(x,u,Du)=f(x)關(guān)于區(qū)域的穩(wěn)定性和一類二階擬線性橢圓型方程divA(x,u,▽u)=0 障礙問題的很弱解的性質(zhì)。其中關(guān)于弱解梯度的一致估計(jì)，本文在對低階項(xiàng)進(jìn)行一定限制的條件下，使用非線性位勢中的容量理論，在區(qū)域?yàn)橐恢聀-厚的條件下，利用一致p-厚的Sobolev不等式和一些

5、容量不等式得出了弱解梯度的一致估計(jì)。而方程解的一致估計(jì)是一定條件下研究方程解的穩(wěn)定性的基礎(chǔ)。關(guān)于方程的弱解的穩(wěn)定性，利用區(qū)域的變分及Hardy不等式，在區(qū)域的外部滿足一致p-厚的條件下，得到方程的弱解關(guān)于區(qū)域是穩(wěn)定的。關(guān)于二階擬線性橢圓型方程障礙問題的研究，主要使用Hodge分解、Sobolev空間理論及一些不等式，得到了單邊障礙問題很弱解的性質(zhì)。在研究中，主要使用實(shí)分析、微分幾何和Sobolev 空間的分析方法和非線性位勢理論，調(diào)和分

6、析等工具。其中使用最多的是：H(o)lder 不等式、Young不等式和Sobolev嵌入定理。本文減弱了[9,7,17]中對算子A(x,u,Du)的假設(shè)，限制u的可積次數(shù)來保證弱解、很弱解的唯一性和穩(wěn)定性，并運(yùn)用Sobolev嵌入定理，得到所要的結(jié)果。
　　 本文分四部分來闡述得到的結(jié)果:
　　 第一部分是緒論。
　　 第二部分是一類橢圓型方程弱解梯度的一致估計(jì)。
　　 第三部分是一類擬線性橢圓方程弱解