非線性發(fā)展方程求精確解若干問(wèn)題的研究.pdf

1、非線性發(fā)展方程是非線性偏微分方程的重要組成部分,該類方程通常用于描述隨時(shí)間而演變的過(guò)程,其研究對(duì)象源自物理學(xué)、化學(xué)、信息科學(xué)、生命科學(xué)等諸多領(lǐng)域。對(duì)具體的非線性發(fā)展方程,如果能夠得到它們的精確解,將有助于人們搞清被研究對(duì)象在非線性作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,準(zhǔn)確地解釋自然界中的許多非線性現(xiàn)象以及發(fā)現(xiàn)自然現(xiàn)象新的規(guī)律。近年來(lái),隨著計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算的發(fā)展,非線性發(fā)展方程精確求解問(wèn)題成為一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域,許多求精確解的直接代數(shù)方法已經(jīng)呈現(xiàn)。
　　

2、 本文對(duì)近年來(lái)求非線性發(fā)展方程精確解的一些方法以及若干具體方程的精確解進(jìn)行研究,全文共分六章。
　　 第一章,簡(jiǎn)要地介紹與本文研究問(wèn)題有關(guān)的背景知識(shí)和發(fā)展概況,回顧非線性發(fā)展方程的若干經(jīng)典求解方法,如反散射變換方法、Painlevé分析、B(a)cklund變換法、Darboux變換法、Hirota雙線性方法等。
　　 第二章,通過(guò)改進(jìn)齊次平衡法和拓展的齊次平衡法中的一些關(guān)鍵步驟,首先給出了修正的齊次平衡法(Ⅰ)、(Ⅱ

3、)。然后,以廣義Boussinesq方程、KP方程和MKdV方程為例,說(shuō)明了用修正的齊次平衡法(Ⅰ)可以導(dǎo)出非線性發(fā)展方程的雙線性方程。進(jìn)而,以(3+1)-維Jimbo-Miwa方程和(2+1)-維變系數(shù)KP方程為例,說(shuō)明了用修正的齊次平衡法(Ⅱ)可以導(dǎo)出非線性發(fā)展方程新的自B(a)cklund變換,從兩個(gè)多維方程新的自B(a)cklund變換出發(fā),我們用攝動(dòng)方法給出了方程的兩孤子解。
　　 第三章,對(duì)用(G'/G)-展開(kāi)法、新

4、輔助方程方法、廣義Riccati方程方法得到的若干多參數(shù)行波解進(jìn)行分析。首先證明(G'/G)-展開(kāi)法等價(jià)于拓展的tanh函數(shù)方法,用(G'/G)-展開(kāi)法不能夠得到非線性發(fā)展方程新的行波解。其次證明了Sirendaoreji給出的新輔助方程的十四個(gè)解與原輔助方程的解波形波速相同僅是相位不同。最后對(duì)Xie等人用符號(hào)計(jì)算給出的廣義Riccati方程的二十七個(gè)解進(jìn)行研究,證明了它們和Riccati方程已知的解是等價(jià)的。
　　 第四章,分

5、析了求非線性發(fā)展方程精確解的兩種商接代數(shù)法:Sirendaoreji的輔助方程方法以及tanh-coth方法。第一節(jié)回顧了一些常用的直接代數(shù)方法以及用它們求精確解的一般步驟。第二節(jié)對(duì)Sirendaoreji的輔助方程的解按照三個(gè)參數(shù)進(jìn)行重新分類,這一分類給出了方程的孤波解和奇異解與三個(gè)參數(shù)值的關(guān)系。利用這一分類修正了文獻(xiàn)中給出的MKdV方程第三類孤立波解的存在條件,也得到(2+1)-維色散長(zhǎng)波方程組豐富的精確解.第三節(jié)證明了平衡數(shù)m≤2

6、時(shí),tanh-coth方法等價(jià)于雙曲函數(shù)展開(kāi)法。
　　 第五章,給出一個(gè)新的試探函數(shù),構(gòu)造了三個(gè)有重要背景的非線性發(fā)展方程的精確解并分析了解之間的關(guān)系。三個(gè)方程中一個(gè)是Burgers方程、KdV方程、KdV-Burgers方程和Benney方程組合起來(lái)的方程,另外兩個(gè)是廣義Fisher方程和廣義FitzHugh-Nagumo方程。用我們給出的新的試探函數(shù)求得的解呈現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象:扭形孤波解和復(fù)值解總是一起出現(xiàn)?；谶@一現(xiàn)象,

7、我們證明了對(duì)一般的非線性發(fā)展方程,tanhθ形式的解一定和tanh2θ±isech2θ形式的解成對(duì)出現(xiàn)。
　　 第六章,提出了適用于求耦合方程組精確解的廣義射影Riccati方程方法。首先引入廣義射影Riccati方程,利用它的解包含了幾種最常見(jiàn)的Jacobi橢圓函數(shù)的事實(shí),說(shuō)明該方法可以在統(tǒng)一的方法下求得用Jacobi橢圓正弦函數(shù)展開(kāi)法、Jacobi橢圓余弦函數(shù)展開(kāi)法以及其它Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法所能得到的方程的解。然后我