算子代數(shù)上的可乘映射和導(dǎo)子.pdf

1、導(dǎo)子是算子代數(shù)和算子理論中比較活躍的、有著重要的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值的研究課題.近年來，許多學(xué)者關(guān)注算子代數(shù)上線性映射何時(shí)成為導(dǎo)子的問題，例如對(duì)于局部導(dǎo)子的研究，在某點(diǎn)可導(dǎo)的映射的研究等等.本文主要討論某些算子代數(shù)，如套代數(shù)、JSL代數(shù)、三角代數(shù)等上的導(dǎo)子、廣義Jordan導(dǎo)子、局部導(dǎo)子、在某點(diǎn)可導(dǎo)的映射等，并證明了幾類算子是某些算子代數(shù)的全可導(dǎo)點(diǎn)或全廣義可導(dǎo)點(diǎn)，從而從新的角度得到了一些判斷映射成為導(dǎo)子或廣義導(dǎo)子的充分必要條件.本文還引入

2、ξ-Lie乘積的概念，研究了ξ-Lie導(dǎo)子、ξ-Lie可乘映射以及ξ-Lie可乘同構(gòu)等的刻畫問題，推廣或統(tǒng)一了已知的一些成果.
　　本文主要結(jié)果如下.
　　1.證明了Banach空間套代數(shù)和J-子空間格代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上的每個(gè)廣義Jordan導(dǎo)子都是廣義導(dǎo)子.
　　2.證明了J-子空間格代數(shù)AlgL上的每個(gè)局部φ-導(dǎo)子和每個(gè)2-局部φ-導(dǎo)子都是φ-導(dǎo)子，每個(gè)雙局部導(dǎo)子都是導(dǎo)子.
　　3.確定了套代數(shù)和JSL代數(shù)

3、上的一些全可導(dǎo)點(diǎn)和全廣義可導(dǎo)點(diǎn).令N是復(fù)Banach空間X上的套，滿足當(dāng)N_=N時(shí)N∈N在X中可補(bǔ).則套代數(shù)AlgN中的單射算子和稠值域算子既是全可導(dǎo)點(diǎn)，又是全廣義可導(dǎo)點(diǎn);值域在套N中的非平凡冪等元都是全可導(dǎo)點(diǎn)和全廣義可導(dǎo)點(diǎn).令X是實(shí)或復(fù)Banach空間，L是X上的J-子空間格，那么當(dāng)dimX＞2時(shí)，零點(diǎn)是JSL代數(shù)AlgL全廣義可導(dǎo)點(diǎn)但不是全可導(dǎo)點(diǎn);當(dāng)X是復(fù)空間時(shí)，單射算子和稠值域算子既是AlgL的全可導(dǎo)點(diǎn)，又是全廣義可導(dǎo)點(diǎn).

4、　　4.討論了算子代數(shù)上ξ-Lie可乘映射的可加性.令A(yù)和A'是域F上的代數(shù)，且A包含單位元I和非平凡冪等元P.令P1=P，P2=I-P1.設(shè)ξ∈F是一個(gè)數(shù)，Φ:A→A'是ξ-Lie可乘雙射(即滿足Φ(AB-ξBA)=Φ(A)Φ(B)-ξΦ(B)Φ（A）的雙射）.如果ξ=1且A是素的，那么Φ(A+B)=Φ(A)+Φ(B)+ZA,B，其中ZA,B是A'的中心Z里的依賴于A和B的元;如果ξ≠1，A滿足條件PiAPjAPl=0或者PlAPiA

5、Pj=0蘊(yùn)涵PiAPj=0(1≤ i，j，l≤2)，那么Φ是可加的.進(jìn)而獲得Banach空間上標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)間的ξ-Lie可乘同構(gòu)的完全刻畫.
　　5.設(shè)u=Tri（A，M，B）是三角代數(shù)，其中A和B是域F上的含單位元的代數(shù)，M是忠實(shí)的左A-模和忠實(shí)的右B-模，v是F上的任意代數(shù).設(shè)ξ∈F，Φ:u→v是ξ-Lie可乘雙射.如果ξ=1，那么對(duì)任意的S，T∈u，存在依賴于S和T的元 ZS,T∈(Z)(v)使得Φ(S+T)=Φ(S)+Φ（

6、T）+ZS，T;如果ξ≠1，那么Φ是可加的.進(jìn)而給出了Banach空間套代數(shù)間的ξ-Lie可乘同構(gòu)的完全刻畫.
　　6.給出了三角代數(shù)和素代數(shù)上的可加ξ-Lie導(dǎo)子和可加廣義ξ-Lie導(dǎo)子的刻畫.設(shè)ξ∈F為一非零標(biāo)量.對(duì)于三角代數(shù)u，令P是u的標(biāo)準(zhǔn)冪等元.設(shè)L是u上的（廣義）ξ-Lie導(dǎo)子.如果ξ=1，即如果L是一個(gè)（廣義）Lie導(dǎo)子，且如果P(Z)(u)P=Z（PuP），(I-P)(Z)(u)(I-P)=Z((I-P)u(I-P

7、))，那么L是一個(gè)可加（廣義）導(dǎo)子和一個(gè)從u到其中心的零化所有換位子的可加映射的和;如果ξ≠1，那么L是可加（廣義）導(dǎo)子，且滿足對(duì)任意的S∈u，有L（ξS）=ξL(S).設(shè)A是實(shí)或復(fù)的素代數(shù)，L是A上的（廣義）ξ-Lie導(dǎo)子.如果ξ=1，且deg(A)≥3，那么L具有形式L=δ+h，其中τ:A→AC(A的中心閉包）是一個(gè)可加（廣義）導(dǎo)子，h:A→C（A的擴(kuò)展中心）是零化所有換位子的可加映射;如果ξ=-1，F(xiàn)的特征不為2和3，且A含單位元