幾乎臨界增長的半線性橢圓方程組的解的漸近行為.pdf

1、本研究如下幾乎臨界增長的半線性橢圓型方程組解的漸近行為:{-△u=| x|βvqε, x∈Ω,-△v=| x|α upε, x∈Ω，(0.1)u=v=0， x∈(6)Ω,其中Ω(C) RN為單位球，ε＞0,α,β＞0，pε=p-(p+1)ε,qε=q-(q+1)ε,p,q＞1滿足臨界曲線1/p+1+1/q+1=N-2/N。使用P.L.Lions的集中緊性原理和Gidas-Spruck的blow-up方法證明了如下兩個(gè)定理。定理1.1設(shè)0

2、＜α＜pN，β＞0，p，q＞1，(uε，vε)是方程(0.1)的基態(tài)解，則存在x0∈(6)Ω使得在子列的意義下當(dāng)ε→0時(shí),(i)在測度的意義下,|△uε|q+1/q→μδx0，| x|β(q+1)/qvq+1ε→μδx0,(ii)在測度的意義下，|uε|p+1→vδx0，其中μ＞0，v＞0滿足μ≥Sp,qVq+1/q(p+1),δx是x點(diǎn)的Dirac測度。定理1.2設(shè)0＜α＜pN，β＞0，p，q＞1且max{2(p+1)/pq-1,2(

3、q+1)/pq-1}＞N-3,（uε，vε）是方程(0.1)的基態(tài)解，xε∈(Ω)使得με=Mε-N/p+1，Mε-uε(xε)=maxx∈(Ω)uε(x)，則當(dāng)ε→0時(shí)，有Mε→∞且：(i)當(dāng)ε足夠小時(shí)，xε是唯一的，而且當(dāng)ε→0時(shí)dist(xε,(6)Ω)→0, dist(xε,(6)Ω)/με→∞；(ii) limε→0∫RN|△(uε-Uμε,xε)|q+1/qdx=0，其中Uμεxε(x)-με-N/p+1U（x-xε/με）