重復(fù)代數(shù)的同調(diào)維數(shù)和高維叢范疇.pdf

1、為了研究量子群的典范基和代數(shù)群的整體正性之間的聯(lián)系,Fomin和Zelevinsky在文[FZ1,FZ2]中引入了叢代數(shù)的概念.作為這一類代數(shù)的一個(gè)范疇化模型,文[BM-RRT]引入了叢范疇的概念及其傾斜理論.關(guān)于An型叢范疇,也可參見(jiàn)文[CCS1].設(shè)A是代數(shù)閉域上的有限維遺傳代數(shù),Db(A)是它的有界導(dǎo)出范疇.令F=τ-1[1],其中τ是Db(A)的Auslander-Reiten變換,[1]是Db(A)的平移函子.則叢范疇C(A)

2、定義為軌道范疇Db(A)/F.由文[K],叢范疇是三角范疇,而且是Calabi-Yau維數(shù)為2的Calabi-Yau范疇.現(xiàn)在叢范疇已經(jīng)成為acyclic叢代數(shù)及其組合的一個(gè)成功的模型.
　　 作為叢范疇的推廣,文[Th]引入了m叢范疇Cm(A),其定義為軌道范疇Db(A)/Fm,這里Fm=τ-1[m].由文[K]知,m叢范疇是三角范疇,而且是Calabi-Yau維數(shù)為m+1的Calabio-Yau范疇.類似于叢范疇理解叢組合的

3、方式,m叢范疇為Fomin和Reading定義的m叢組合提供了一種好的代數(shù)理解.
　　 對(duì)于代數(shù)閉域上的有限維遺傳代數(shù)A,文[AI]定義了A的m-replicated代數(shù)A(m).由文[ABST2],這-類代數(shù)給出了m叢范疇及其叢傾斜對(duì)象一種很好的解釋,即投射維數(shù)不超過(guò)m的(廣義)傾斜A(m)-模一一對(duì)應(yīng)于Cm(A)中的叢傾斜對(duì)象.當(dāng)m=1時(shí),也就是duplicated代數(shù)情形,參見(jiàn)文[ABST1].這引起了我們進(jìn)一步研究這類代

4、數(shù)的興趣.
　　 文[BMR1]引入了叢傾斜代數(shù)的概念,這類代數(shù)和叢范疇一起為叢代數(shù)及其組合提供了一種好的代數(shù)理解.叢傾斜代數(shù)也給傳統(tǒng)的傾斜理論帶來(lái)了一種新的視角.作為叢傾斜代數(shù)的Galois覆蓋,廣義叢傾斜代數(shù)在文[Zh4]中引入.它們和叢傾斜代數(shù)都是Gorenstein維數(shù)至多為1的Gorenstein代數(shù).這引起了我們對(duì)叢傾斜代數(shù)及廣義叢傾斜代數(shù)傾斜理論的研究興趣.
　　 本文第一章給出引言和預(yù)備知識(shí).介紹了與本論

5、文有關(guān)的基本概念和重要結(jié)果,以及研究發(fā)展概況,較全面闡述論文的工作背景和思路.
　　 在第二章,受文[ABST2]的啟發(fā),我們利用代數(shù)閉域上有限維遺傳代數(shù)的m-replicated代數(shù)來(lái)研究m叢范疇.我們首先考察了任意忠實(shí)的幾乎傾斜A(m)-模的互不同構(gòu)的不可分解補(bǔ)的性質(zhì),定義了mod A(m)中的mutation序列.最后我們利用mod A(m)中的偏mutation序列實(shí)現(xiàn)了m叢范疇中的m-cluster mutation.

6、主要結(jié)果如下:
　　 定理2.2.4.設(shè)T是(廣義)傾斜A(m)-模,B=EndA(m)(T).則代數(shù)B的底圖沒(méi)有方向圈.
　　 定理2.2.6.設(shè)T是忠實(shí)的幾乎傾斜A(m)-模,T有t+1個(gè)互不同構(gòu)的不可分解補(bǔ)X0,…,Xt,2m≤t≤2m+1.則
　　 并且,第i個(gè)連接序列
　　 0→Xi→Ti→Xi+1→0
　　 是Ext1A(m)(Xi+1,Xi)的一組k-基,進(jìn)而,對(duì)0≤i≤t-1和0≤

7、i+s≤t,正合列
　　 0→Xi→Ti→Ti+1→…→Ti+8+1→Xi+1→0
　　 是Ext8A(m)(Xi+8,Xi)的一組k-基.
　　 定理2.2.11.設(shè)N是mod A(m)的m-左部分Lm(A(m))的偏mutation序列,且N有m+1個(gè)元素{X0,X1,…,Xm}.則存在忠實(shí)的幾乎傾斜A(m)-模T,使得T()Xi,0≤i≤t都是(廣義)傾斜A(m)-模.
　　 定理2.3.2.設(shè)(T

8、)是Cm(A)中的幾乎叢傾斜對(duì)象,則(T)恰好有m+1個(gè)互不同構(gòu)的不可分解補(bǔ).
　　 定理2.3.6.設(shè)(T)=π(T′)是Cm(A)中的幾乎叢傾斜對(duì)象,T=T′()P是投射維數(shù)不超過(guò)m的忠實(shí)的幾乎傾斜A(m)-模,其中P是所有不可分解投射-內(nèi)射A(m)-模的直和.設(shè)X0,…,Xm是T的m+1個(gè)投射維數(shù)不超過(guò)m的互不同構(gòu)的不可分解補(bǔ).則由mood A(m)中的m個(gè)連接序列誘導(dǎo)的Cm(A)中的(m+3)-angle恰好就是Ausl

9、ander-Reiten(m+3)-angle.
　　 在第三章,我們主要研究代數(shù)閉域上的有限維遺傳代數(shù)A的m-replicated代數(shù)A(m)的某些同調(diào)維數(shù),包括A(m)的表示維數(shù),支配維數(shù),mood A(m)中的所有生成子余生成子的自同態(tài)代數(shù)的整體維數(shù).主要結(jié)果如下:
　　 定理3.1.2.A(m)的表示維數(shù)小于等于3.
　　 定理3.1.5.A(m)的支配維數(shù)大于等于m.
　　 定理3.2.2.設(shè)A

10、是代數(shù)閉域上的有限表示型遺傳代數(shù),整數(shù)d≥2.則存在mood A(m)的生成子余生成子M使得gl.dim EndA(m)(M)=d的充要條件是存在一條長(zhǎng)度大于等于d的T-軌道.
　　 定理3.2.11.設(shè)A是代數(shù)閉域上的無(wú)限表示型遺傳代數(shù),d或者是-個(gè)大于等于3的整數(shù),或者是∞.則存在mod A(m)的生成子余生成子M,使得gl.dim EndA(m)(M)=d.
　　 第四章,我們考察叢傾斜代數(shù)和廣義叢傾斜代數(shù)之間的關(guān)

11、系,證明了叢傾斜代數(shù)的任意傾斜?？梢蕴嵘秊橄鄳?yīng)的廣義叢傾斜代數(shù)的傾斜模,并初步討論了廣義叢范疇中的叢傾斜對(duì)象,極大例外對(duì)象和完全例外對(duì)象之間的關(guān)系.主要結(jié)果如下:
　　 定理4.2.5.叢傾斜代數(shù)的任意傾斜模可提升為相應(yīng)的廣義叢傾斜代數(shù)的傾斜模.
　　 命題4.2.7.在廣義叢范疇CFm(A)中,
　　 (1)叢傾斜對(duì)象一定是極大例外對(duì)象；
　　 (2)叢傾斜對(duì)象一定是完全例外對(duì)象；
　　 (3)