g-函數(shù)，弱基g-函數(shù)及基數(shù)函數(shù)的應(yīng)用.pdf

1、一般拓?fù)鋵W(xué)從開創(chuàng)至今已經(jīng)歷了一百多年的歷史，雖然它的發(fā)展相對(duì)于其它一些數(shù)學(xué)學(xué)科如分析學(xué)，代數(shù)學(xué)，歐式幾何學(xué)和數(shù)論要晚了許多，但是經(jīng)過一百多年，特別是二十世紀(jì)五十年代到七十年代的蓬勃發(fā)展，拓?fù)鋵W(xué)的理論已日趨成熟與完善．在一般拓?fù)鋵W(xué)的研究和發(fā)展過程中拓?fù)淇臻g的可度量化問題始終是一個(gè)中心課題，這是因?yàn)槎攘靠臻g本身具有許多良好的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用．拓?fù)鋵W(xué)中第一個(gè)度量化定理是由Alexandroff和Uysohn于1923年發(fā)

2、表的： T<,O>空間可度量化當(dāng)且僅當(dāng)它有一個(gè)正則的展開．1925年，Urysohn證明了一個(gè)經(jīng)典結(jié)論：每一正則具有可數(shù)基的空間是可度量化的．自從Urysohn的結(jié)果發(fā)表以后，給出“一般的度量化定理”的問題就被提出來了。這一問題要求尋找一個(gè)度量化定理使得Urysohn的經(jīng)典結(jié)果是其簡單和自然的推論．直到二十世紀(jì)五十年代，這一問題才由三位數(shù)學(xué)家分別獨(dú)立得到，其中Nagata[1950]和Smirnov[1951]用σ-局部有限的基來刻畫度

3、量空間，Bing[1951]用σ-離散基來刻畫度量空間．之后，越來越多的拓?fù)鋵W(xué)家通過各種不同的工具和方法來研究度量化定理．比如，C<,σ>對(duì)角線，點(diǎn)可數(shù)基(它是σ-局部有限的基和σ-離散基的推廣)，β-基，g-函數(shù)，以及近年來定義的弱基g-函數(shù)等等．并且得到了許多重要的結(jié)論，豐富了度量化定理的研究。 同時(shí)，我們也應(yīng)該注意到在眾多的重要的拓?fù)淇臻g中能夠度量化的空間僅占極少部分，因此研究與度量空間有密切聯(lián)系的廣義度量空間的性質(zhì)就具有

4、非常重要的意義．本文中，我們沒有定義新的廣義度量空間，因?yàn)殡S著一般拓?fù)鋵W(xué)的迅猛發(fā)展，各種形式的度量空間的推廣已經(jīng)非常豐富．我們?cè)噲D用已有的拓?fù)鋵W(xué)中研究廣義度量空間的重要工具---g--函數(shù)去研究兩類比較重要的拓?fù)淇臻g的性質(zhì)． 在第一章中，我們以弱基g-函數(shù)為工具研究了度量化定理，主要的結(jié)果分為三個(gè)方面．首先在第1.3節(jié)中，我們討論了由高智民教授和彭良雪教授給出的兩個(gè)度量化定理?xiàng)l件之間的關(guān)系，指出它們是相互不包含的．從而提出一個(gè)問

5、題：是否存在兩個(gè)度量化定理，分別是上述兩個(gè)度量化定理的推廣?然后，在第1.4節(jié)中，我們通過對(duì)上述問題的研究，定義了幾個(gè)關(guān)于弱基g-函數(shù)的新條件，減弱了已知的弱基g-函數(shù)的條件，從而解答了上述問題．最后，在第1.5節(jié)中，我們進(jìn)一步研究了度量化定理，減弱了一個(gè)由A.M.Mohamad給出的度量化定理的條件，得到了該定理的一個(gè)推廣． 在第二章中，我們主要研究了兩類重要的廣義度量空間：σ-空間和WN-空間的性質(zhì)．首先在第2.3節(jié)中，我們

6、利用CF-集族和g-函數(shù)的概念對(duì)于正則Frechet條件下的σ-空間進(jìn)行了刻畫，給出了判定正則Frechet空間是σ-空間的一個(gè)充要條件，通過該刻畫與已有結(jié)論的比較可以看出在相同條件下σ-空間與Lasnev空間的差別．在第2.4節(jié)中，我們對(duì)WN-空間的可膨脹性進(jìn)行了研究。得到了正規(guī)條件下WN-空間可膨脹的一個(gè)條件．并且我們知道在q-空間中WN-空間與MCP空間是等價(jià)的，故此結(jié)論對(duì)于Chris.Good在2000年提出的“MCP空間是否是

7、可膨脹的”這一問題的最終解決也起著重要的作用． 定義于拓?fù)淇臻g到基數(shù)集內(nèi)的對(duì)應(yīng)f稱為基數(shù)函數(shù)，若對(duì)于每一個(gè)拓?fù)淇臻gX，對(duì)應(yīng)一個(gè)基數(shù)f(X)使得如果空間X同胚于空間y，則F(X)=f(y)．基數(shù)函數(shù)將一些重要的拓?fù)湫再|(zhì)擴(kuò)展到了高基數(shù)的情形。R.Hodel[1984]指出：基數(shù)函數(shù)是集論拓?fù)渲凶钣行Ш妥钪匾慕y(tǒng)一概念之一． 在第三章中，我們主要借助一般拓?fù)鋵W(xué)中基數(shù)函數(shù)的概念來研究L-fuzzy保序算子空間的基本性質(zhì)．因?yàn)樵谝?/p>