2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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1、近年來(lái),隨著對(duì)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中各種復(fù)雜系統(tǒng)的深入研究,分?jǐn)?shù)階微積分在反常擴(kuò)散、黏彈性力學(xué)、軟物質(zhì)、電磁學(xué)、系統(tǒng)控制、生物醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域有了許多成功的應(yīng)用,有關(guān)其理論和應(yīng)用的研究在國(guó)際上已成為熱點(diǎn)。分?jǐn)?shù)階微分方程在描述一些具有記憶性或非局部性質(zhì)的過(guò)程或材料時(shí)比整數(shù)階微分方程模型更有優(yōu)勢(shì),其解析解通常難以獲得且大多含有計(jì)算困難的特殊函數(shù),這激發(fā)了廣大研究者從事分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)數(shù)值求解的興趣。
  當(dāng)前求解分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程、分

2、數(shù)階變分問(wèn)題及分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值方法主要集中于有限差分方法,其存儲(chǔ)要求高,計(jì)算量大,精度低。又因sinc函數(shù)和分?jǐn)?shù)次Jacobi多項(xiàng)式在逼近許多特殊函數(shù)時(shí)具有指數(shù)階收斂性,故本文充分利用它們的這種優(yōu)點(diǎn),采用它們作為基函數(shù),發(fā)展了求解分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題、分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題及分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的高精度數(shù)值方法。主要內(nèi)容和成果如下:
  第一章介紹了分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程、分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題與分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題及其

3、求解方法的研究背景和現(xiàn)狀,提出了本文的研究動(dòng)機(jī),并簡(jiǎn)要列出了全文的研究?jī)?nèi)容和結(jié)構(gòu)。
  第二章首先介紹了與論文相關(guān)的一些特殊函數(shù)和Jacobi正交多項(xiàng)式,然后對(duì)三種常用的分?jǐn)?shù)階微積分的基本概念及其若干性質(zhì)進(jìn)行了闡述。
  第三章結(jié)合有限差分方法和sinc配置逼近對(duì)一類分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值求解。首先利用有限差分方法在時(shí)間方向上對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行了半離散化,然后在空間方向上采用sinc配置法得到了全離散格式。根據(jù)

4、sinc函數(shù)的一些性質(zhì),在每個(gè)時(shí)間步上,原問(wèn)題被簡(jiǎn)化為求解線性代數(shù)方程系統(tǒng)。該方法的穩(wěn)定性和收斂性理論被嚴(yán)格建立,并通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了理論結(jié)果。接下來(lái),從積分形式的主方程出發(fā)導(dǎo)出了標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,證明了該積分形式的主方程與連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走(CTRW)模型是等價(jià)的,并采用sinc-Chebyshev配置方法對(duì)前述分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程和分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程進(jìn)行了數(shù)值求解。數(shù)值例子驗(yàn)證了該方法的可行性和高效性。特別地,當(dāng)在sinc配置方法中引

5、入雙指數(shù)變換時(shí),空間方向的精度得到了較大提高。
  第四章發(fā)展了一種指數(shù)精度的Rayleigh-Ritz方法求解分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題?;诜?jǐn)?shù)階Sturm-Liouville特征問(wèn)題的分?jǐn)?shù)次Jacobi多項(xiàng)式被用來(lái)作為基函數(shù)以逼近分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的真解,并通過(guò)Rayleigh-Ritz技術(shù)得到了與原問(wèn)題相關(guān)的線性代數(shù)方程系統(tǒng)。進(jìn)一步分析了該方法的分?jǐn)?shù)階變分的收斂性,并通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了該方法具有指數(shù)收斂。所發(fā)展的方法在精度上優(yōu)于當(dāng)前各文獻(xiàn)

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