解一類微分方程的預(yù)條件方法的收斂性.pdf

1、本文主要研究一類微分方程數(shù)值解法。微分方程的數(shù)值解法通常是用差分的方法得到線性方程組，然后對(duì)這個(gè)方程組進(jìn)行求解。根據(jù)實(shí)際問題的需要，這種線性方程組通常是大型稀疏線性方程組。本文主要討論的是：對(duì)于大型的線性方程組而言，如何加快收斂速度的問題。對(duì)于這種方程組是很難用直接法去求它的精確解的。因此我們一般采用迭代法求解，因而討論迭代法的收斂性以及收斂速度成為一個(gè)值得關(guān)注的問題。不收斂或收斂速度慢的迭代方法是沒有實(shí)用價(jià)值的。 近年來，預(yù)條

2、件方法被廣泛研究，它能大大加快迭代法的收斂速度。本文主要研究討論這種方法，如何選擇好的預(yù)條件子，使預(yù)條件方法加快收斂速度。因?yàn)榈ǖ氖諗克俣仁桥c迭代矩陣的譜半徑相關(guān)的，所以本文主要是討論比較譜半徑的大小。 正文包括五章。第一章是引言部分，首先從微分方程導(dǎo)出線性方程組，再介紹什么叫做線性方程組的迭代法，給出幾種常見的迭代法的形式，最后引出預(yù)條件方法。第二章是預(yù)備知識(shí)部分，主要列出本文中所要使用的定義和引理。第三章是已有相關(guān)知識(shí)，

3、主要介紹幾種常見的預(yù)條件子，簡要說明近年來預(yù)條件理論的發(fā)展。第四章，敘述當(dāng)A是非奇異不可約M-矩陣時(shí)，預(yù)條件子P=I+S中S要滿足什么條件，才有預(yù)條件方法和原來的迭代方法之間很好的比較定理，并以具體的預(yù)條件子為例，說明定理的普遍性。另外還通過比較不同預(yù)條件子對(duì)應(yīng)的預(yù)條件方法收斂速度，說明如何選擇更好的預(yù)條件子。第五章，具體討論預(yù)條件子P1。首先說明以P1為預(yù)條件子的預(yù)條件方法在一定條件下是收斂的，并且能加快原迭代方法的收斂速度；然后討論