若干非線性波動(dòng)方程的解的性質(zhì)和控制問題.pdf

1、波動(dòng)方程是偏微分方程和分布參數(shù)控制理論的一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容，對(duì)它的研究必將促進(jìn)偏微分方程和控制理論的進(jìn)一步發(fā)展.本文的研究?jī)?nèi)容主要有兩個(gè).一是應(yīng)用偏微分方程理論和Sobolev空間理論研究具非線性阻尼和非線性源項(xiàng)的波動(dòng)方程的解的性質(zhì).二是應(yīng)用黎曼幾何方法，結(jié)合Carleman估計(jì)等方法研究具變系數(shù)主部的波動(dòng)方程的可控性和能量衰減問題.
　　論文分為三章.
　　第一章是引言，主要介紹本文的研究背景，國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及本文的主要結(jié)

2、果.
　　第二章主要研究一些彈性振動(dòng)系統(tǒng)的解的性質(zhì).這些性質(zhì)有解的全局存在性、解的爆破分析、解的非全局存在.
　　第二章第一節(jié)研究如下的波動(dòng)方程:{utt+|ut|m-1ut=div(ρ(|▽u|2)▽u)+f(u,v),(x,t)∈Ω×(0,T),vtt+|vt|r-1vt=div(ρ(|▽v|2)▽v)+f2(u，v),(x，t)∈Ω×(0,T),u=v=0,(x,t)∈(a)Ω×(0, T),u(x,0)=u0(x)，

3、ut(x,0)=u1(x), x∈Ω,v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x), x∈Ω,其中，Ω是Rn（n=1，2，3）中的具有光滑邊界(a)Ω的有界區(qū)域;m，r≥1;fi(·，·):R2→R2是給定的函數(shù).ρ是滿足以下條件的C1類函數(shù):對(duì)s＞0ρ(s)＞0,ρ(s)+2sρ'(s)＞0.假設(shè)系統(tǒng)具有負(fù)初始能量，當(dāng)函數(shù)f1，f2，初值u0，u1，v0，v1和系統(tǒng)中的參數(shù)r,m滿足適當(dāng)?shù)臈l件時(shí)，得到了系統(tǒng)解的全局存在和全局不

4、存在的結(jié)論.
　　第二章第二節(jié)研究如下的粘彈性波動(dòng)方程解的性質(zhì):{utt+|ut|m-1ut=div(ρ1(|▽u|2)▽u)+f1(u,v)-∫t0g1（t-s）△u(s)ds，(x，t）∈Ω×(0，T)，vtt+|vt|r-1vt=div(ρ2(|▽v|2)▽v)+f2(u,v)-∫t0g2(t-s)△v(s)ds,(x,t)∈Ω×(0, T),u=v=0,(x,t)∈(a)Ω×(0,T),u(x,0)=u0(x),ut(x,

5、0)=u1(x), x∈Ω,v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x), x∈Ω,其中，Ω是Rn(n=1，2，3)中的具有光滑邊界(a)Ω的有界區(qū)域;m，r≥1;ρi=1+sqi，i=1,2.f1(u,v)=[|u+v|2(ρ+1)(u+v)+|u|ρu|v|(ρ+2)]，f2(u,v)=[|u+v|2(ρ+1)（u+v)+|v|ρv|u|(ρ+2)].假設(shè)系統(tǒng)具有正初始能量，當(dāng)函數(shù)f1，f2，初值u0，u1，v0，v1和系統(tǒng)

6、中的參數(shù)r，m，ρ滿足適當(dāng)?shù)臈l件時(shí)，證明了系統(tǒng)的解不能全局存在.
　　第二章的第三節(jié)研究以下非線性梁振動(dòng)系統(tǒng)φtt+σ（φxx）xx+ aφt|φt|m-1=bφ|φ|p-1, x∈(0,1)， t≥0,其中， a＞0, b＞0，p＞1，m＞1.初始條件為φ(x,0)=φ0(x)，φt(x,0)=φ1(x), x∈[0,1].假設(shè)梁的右端是鉸鏈連接的，即φ(1,t)=φxx(1,t)=0,t＞0.左端帶有輸入u(t)=(u1(t)

7、，u2(t))和輸出y(t)=(y1(t)，y2(t))，且滿足{σ(φxx(0，t))-φtx(0，t)=2u1(t)， t≥0，σ（φxx）x(0，t)+φt(0，t)=2u2(t)， t≥0，和σ(φxx(0，t))+φtx(0，t)=2y1(t)， t≥0，σ（φxx）x(0，t)-φt(0，t)=2y2(t)，t≥0.
　　通過構(gòu)造輔助函數(shù)，證明了當(dāng)初值，輸入，輸出函數(shù)分別滿足適當(dāng)?shù)臈l件時(shí)，系統(tǒng)的解在有限時(shí)刻爆破和整體存

8、在.
　　第三章研究論文的第二個(gè)主要內(nèi)容:具變系數(shù)主部的波動(dòng)方程的可控性和能量衰減問題.第三章中Ω是Rn(n≥2)的一個(gè)具有光滑邊界Γ的有界區(qū)域.假設(shè)Γ由Γ0和Γ1兩部分組成;Γ0∪Γ1=Γ，Γ0是Γ的非空的相對(duì)開集.記v為邊界上的外法向量.在Euclidean度量下，記向量場(chǎng)X的散度為div(X).A(x)=(aij(x))是一個(gè)n×n的矩陣函數(shù)，其中aij=aji.
　　第三章第一節(jié)做一些準(zhǔn)備工作，介紹本章的主要研究方法

9、:黎曼幾何方法.
　　第三章第二節(jié)研究如下的帶邊界記憶條件的波動(dòng)方程{utt-div(A(x)▽u)+f(u)=0,(x，t)∈Ω×(0,∞),u=0，(x，t)∈Γ0×(0，∞)，(a)u/(a)vA=-∫t0k(t-s，x)ut(s)ds-g(ut),(x,t)∈Γ1×(0，∞)，u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x), x∈Ω.當(dāng)函數(shù)f，k和g滿足適當(dāng)?shù)募僭O(shè)時(shí)，獲得了系統(tǒng)能量指數(shù)衰減的結(jié)論.
　　第三章第

10、三節(jié)研究如下帶非線性邊界反饋的波動(dòng)方程{utt-div(A(x)▽u)-<▽gφ，▽gu)g=0，(x，t)∈Ω×(0，∞),u=0，(x，t)∈Γ0×(0，∞)，(a)u/(a)vA+f(ut)=0，(x，t)∈Γ1×(0，∞)，u(x,0)=u0(x)，ut(x,0)=u1(x),x∈Ω,其中φ(x)∈W1,∞(Ω)是一個(gè)已知函數(shù)，(a)u/(a)vA是u沿著vA=Av的導(dǎo)數(shù).f是定義在Γ1上的連續(xù)的非線性的非負(fù)函數(shù).在一些假設(shè)條件

11、下，我們分別獲得了系統(tǒng)能量指數(shù)衰減和多項(xiàng)式衰減的結(jié)論.
　　在第三章第四節(jié)，令二階微分算子Au=-n∑i,j=1(a)/(a)xi（aij(x)(a)u/(a)xj），x=(x1,x2,…,xn),其中aij=aji是C1類函數(shù)且滿足n∑ij=1aij(x)ξiξj≥ a0n∑i=1ξ2i，x∈Ω，ξ=(ξ1，ξ2，…，ξn)∈Rn，a0＞0.
　　研究如下平行耦合的波動(dòng)方程的可控性問題{utt+Au-α(v-u)-β(vt

12、-ut)=0,(x，t)∈Q,vtt+ Av-α(u-v)-β(ut-vt)=0,(x,t)∈Q,u|∑1=0,u|Σ0=w1(x,t),(x，t)∈Σ,v|∑1=0,v|Σ0=w2(x，t),(x，t)∈Σ,u(x,0)=u1(x),ut(x,0)=u2(x),(x,t)∈Ω,v(x,0)=v1(x)，vt(x,0)=v2(x),(x,t)∈Ω,其中， Q=Ω×(0，T]，Σ=Γ×(0，T]，Σi=Γi×(0，T]，i=0，1.w1(