非線性波動方程的精確解及其孤子結(jié)構(gòu).pdf

1、在非線性科學(xué)中，非線性波動方程精確解的研究有助于理解孤立子理論的本質(zhì)屬性和代數(shù)結(jié)構(gòu)，而且對相應(yīng)自然現(xiàn)象的合理解釋及實際應(yīng)用將起到重要的作用. 本論文首先借鑒了非線性物理的對稱約化思想和線性物理中的分離變量理論，對處理非線性問題的直接代數(shù)法和多線性分離變量法進行了研究和推廣，對映射變換理論進行了創(chuàng)新，得到了一些新的結(jié)果.將基于行波約化的代數(shù)方法推廣應(yīng)用到了非線性離散系統(tǒng)和復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，尋求其精確的行波解和近似解.然后，根據(jù)非線

2、性系統(tǒng)的映射變換解和多線性分離變量解，分別討論了(2+1)維局域激發(fā)模式及其相關(guān)的非線性動力學(xué)行為.圍繞一些具有深刻物理背景的非線性波動方程的局域激發(fā)模式及其相關(guān)非線性特性-分形特征和混沌行為展開了討論，這些非線性系統(tǒng)源于流體力學(xué)、等離子體物理、固體物理、超導(dǎo)物理、凝聚態(tài)物理和光學(xué)等實際問題.本文研究表明，Charkson-Kruskal的直接約化方法，映射變換方法和多線性分離變量方法蘊藏著內(nèi)在的有機聯(lián)系.另外，本文所得結(jié)果說明混沌和分

3、形存在于高維非線性系統(tǒng)是相當(dāng)普遍的現(xiàn)象.現(xiàn)將本文的主要內(nèi)容概述如下: 第一章，簡要回顧了孤立波的發(fā)現(xiàn)與研究歷史，概述了當(dāng)前研究孤子解的一些基本方法，其中包括：反散射方法，Darboux變換和Backlund變換，Painlevé分析法和Hirota雙線性方法等，最后給出了本論文的主要工作和結(jié)構(gòu)按排. 第二章，首先以Boussinesq方程為例，介紹了尋求非線性波動方程相似約化解的三個基本方法：經(jīng)典李群法、非經(jīng)典李群法和C

4、K(Clarkson和Kruskal)直接法.然后以sine-Gordon方程組為例，給出了樓和馬最近提出的對CK直接法進行的一種修正.在他們的方法中，并沒有對原方程進行低維約化，而是在要求自變量不減少的情況下，直接地得到原方程的李對稱群.同時，如果利用多直線孤子解的群變換，可以得到各種多曲線激發(fā).最后，仍基于CK直接相似約化的思想，給出了目標約化的一般理論，即：對-個給定的非線性方程，事先建立一個目標函數(shù)，通過假設(shè)得到的相似約化方程為

5、常微分方程，將其中的系數(shù)分解整理成多個規(guī)范系數(shù)的比率，而不僅僅只有-個.由此，來得到非線性系統(tǒng)有著更加直接而簡便的豐富的精確解，其中包括孤立波解，周期波解和有理函數(shù)解. 第三章，利用CK直接相似約化思想，給出了非線性方程的映射變換理論，突破了已有映射理論只能得到系統(tǒng)行波解的約束，并成功地運用到了多個非線性波動方程組中，如：(2+1)維色散長波方程組、(2+1)維廣義Broer-Kaup方程組、(1+1)維非線性Schr(o)di

6、nger方程組、修正的(2+1)維色散水波方程組、(2+1維Nizhnik-Novikov-Veselov方程組等，得到了新型的變量分離的精確解.根據(jù)所求得的映射解，分析了若干新的或典型的局域激發(fā)模式，如：雙周期結(jié)構(gòu)孤子，單值與多值復(fù)合的半折疊孤子，裂變孤子和聚合孤子及其演化行為特性等.討論了一些典型孤子所蘊涵的分形特征和混沌動力學(xué)行為.研究結(jié)果表明混沌、分形存在于高維非線性系統(tǒng)是相當(dāng)普遍的現(xiàn)象，其根源在于可積系統(tǒng)的初始狀態(tài)或邊界條件具

7、有“不可積”的分形特性或混沌行為.修正了人們長期認為孤波產(chǎn)生于可積非線性系統(tǒng)而混沌、分形只存在于不可積非線性系統(tǒng)的認識局限性.分析表明，所有由多線性分離變量法得到的(2+1)維非線性系統(tǒng)的局域激發(fā)，利用映射變換理論也可以找到.映射變換方法不僅突破了原映射理論只能求解非線性系統(tǒng)行波解的約束，還有望進一步推廣應(yīng)用到其它的非線性系統(tǒng)中，由此，豐富和發(fā)展了非線性科學(xué)的基本理論. 第四章，首先簡要介紹了分離變量法在幾個方向的發(fā)展情況，并以(2+1

8、)維非線性系統(tǒng)為例，給出了樓提出的多線性變量分離法的一般步驟.然后求出了(1+1)維淺水波方程，(2+1)維mBK方程組和另外若干著名的方程組的變量分離解及其推廣形式，并討論了在普適公式下的孤子的結(jié)構(gòu)及其相互作用的行為.一般說來，所得到的多線性分離變量解，可以用來描述系統(tǒng)場量或相應(yīng)的勢函數(shù)，進而討論基于多線性分離變量解引起的系統(tǒng)局域激發(fā)及其相關(guān)非線性特性.文中報導(dǎo)了一些典型的局域激發(fā)模式，如：在所有方向都呈指數(shù)衰減的相干局域結(jié)構(gòu)-dro

9、mion，在各個方向同時褶皺的多值孤波-折疊子，三維空間中的偶極子型孤子等. 第五章，將基于行波約化的代數(shù)方法推廣應(yīng)用到了非線性離散系統(tǒng)和復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，尋求其精確的行波解和近似解.首先給出了微分-差分系統(tǒng)雙曲函數(shù)法的一般理論，其推廣形式及在非線性離散系統(tǒng)中的應(yīng)用，然后給出了基于行波約化的形變映射理論及非線性Schr(o)dinger方程基于行波的約化解，最后則引進了Adomian分解法，來研究在一定初始條件下的高階非線性Sc