考研試題分析五(定積分及其應用)

1、考研試題分析五（定積分及其應用） 考研試題分析五（定積分及其應用） 例 1 . 求極限 x xdt xt xx 2 sin) sin( lim 2 3 020 ∫→ 。 [分析] 遇到極限中有可變上限有定積分，一般情況下可考慮應用洛必達法則，但由于現(xiàn)在被積函數(shù)中含有變量 x ， 因此先應將 x 從被積函數(shù)中分離出來， 對此題可用變量代換； 另外，在求極限的過程中如能恰當?shù)貞玫葍r無窮小代換，可簡化求極限的過程。 [解] 對定積分作

2、變換 xt u = ，由于 ～ ， ～ ，，因此再利用洛必達法則有 x 2 sin 2 2 ) 2 ( x 4 sin x 4 x ) 0 ( → x原式= 2 3020 ) 2 (sin 1lim2x xdx u xxx ∫→ = 540 6 020 24sin 2 lim 4sin lim2xx xxdu uxxx → → = ∫= 12112 lim 440 = → xxx例 2. 例 2. 求極限 nn n n n n

3、 ) 2 ( ) 2 )( 1 ( 1 lim ? ? ? + + ∞ → . [分析] 利用定積分的定義求極限，是一種常見的考研題型，難點在于如何將 變型成和式 。 n x∑ = ?ni i i x f1 ) (ξ[解] 令 n n n n n n x ) 2 ( ) 2 )( 1 ( 1 ? ? ? + + =則 n n n n n xn ln )] 2 ln( ) 2 ln( ) 1 [ln( 1 ln ?

4、 + ? ? ? + + + + == ] ln ) 2 ln( ) 2 ln( ) 1 [ln( 1 n n n n n n ? ? ? ? + + + += )] 1 ln( ) 2 1 ln( ) 1 1 [ln( 1nnn n n + + ? ? ? + + + +因此 = ∫ + = ∞ →10 ) 1 ln( ln lim dx x xn n 1 2 ln 2 ? 所以 原式= e e 4 1 2 l

5、n 2 = ?例 3．設 在 上連續(xù)， ) (x f [ b a , ] B b a A < < < , 求證 ∫ ? = ? +→ba h a f b f dx hx f h x f ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 . 1= p A1 ) )( 2 ( α β ε ? ?因為 當 +∞ → p時, 1 ) (1 → ? p α β ,故當 充分大時有 p∫ ? = ? ? ≥ 1012

6、) 2 ( ) ) ( ( ε ε ε A A dx x f p p因此當 充分大時有 pA dx x f A p p ≤ ≤ ? ∫1 10 ) ) ( ( ε由ε 的任意性知 ∫ = +∞ →101 ) ) ( ( lim A dx x f p pp例 5. 計算 ∫ +? 10 arctan dx x ax a[分析] 本題應用換元積分法,換元時應注意要換限. [解法 1] 令 x ax a t +? = arct

7、an則 t a tt a x 2 cos tan 1tan 122 = +? ? = , 故 原式=∫04 ) 2 cos ( π t a td = │ t at 2 cos 0 π4+ dt t a∫ 40 2 cosπ= 2a [解法 2] 令 t x cos =原式= 2 cos 2 cos 2 cos 2020202a dt t a t t a t d t = ? ? = ∫ ∫ π π π[