第6章 定積分及其應用

1、第六章第六章定積分及其應用定積分及其應用6.16.1定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)教學內(nèi)容提要教學內(nèi)容提要1.定積分的幾何與物理模型；2.定積分的定義；3.定積分的基本性質(zhì).教學目的與要求教學目的與要求1.理解定積分的幾何與物理模型；2.理解定積分的極限定義；3.了解定積分的基本性質(zhì).教學重點與難點教學重點與難點定積分幾何與物理模型的極限過程理解，平面圖形面積的定積分表達.教學時數(shù)2教學過程：一、定積分的幾何與物理模型一、定積分的

2、幾何與物理模型1.1.求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積1).曲邊梯形的定義：曲邊梯形的定義：由三條直線與軸和一條曲線圍成的平面bxax??x)0)((??xyy圖形，稱為曲邊梯形。如下圖（1.1）（1.2）（1.3），其中（1.2）（1.3）是特殊情形。2).利用極限計算曲邊梯形面積利用極限計算曲邊梯形面積的步驟的步驟A第一步：分割將曲邊梯形分成許多細長條。在區(qū)間[ab]中任取若干分點：，把曲邊梯形的底[ab]分成n個小bxxxxxxx

3、annii????????????11210??區(qū)間；，并記；過分點分別][][][][112110nniixxxxxxxx????1????iiixxxix作軸的垂線，將曲邊梯形分成個小曲邊梯形，記第個曲邊梯形的面積為xni；)21(niAi???第二步：近似，將這些細長條近似地看作一個個小矩形。（如下圖）圖（1.1）y=f(x)ba0yxy=f(x)圖（1.2）ba0yx圖（1.3）y=f(x)ba0yx定義定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，

4、在中任插入若干個分點)(xf][ba][ba，把區(qū)間分成個小區(qū)間；bxxxxxxxannii????????????11210??][ban，各小區(qū)間長記為][][][][112110nniixxxxxxxx????)21(1nixxxiii??????任取，作和式，記，如果不論對怎樣][1iiixx???????niiixfS1)(?max1inix?????][ba劃分，也不論在小區(qū)間上點怎樣選取，只要時，和式總趨于確定的極][1i

5、ixx?i?0??S限，這時則稱極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，定積分，記作，即II)(xf][ba?badxxf)(iniibaxfdxxfI???????10)(lim)(??其中：叫做被積函數(shù)被積函數(shù)；叫做被積表達式被積表達式；x叫做積分變量積分變量；a叫做積分下限積分下限，)(xfdxxf)(b叫做積分上限積分上限；[ab]叫做積分區(qū)間。積分區(qū)間。如果在[a，b]上的定積分存在，也稱在[a，b]上可積可積。否則，便稱)(xf)(xf

6、在)(xf[a，b]上不可積不可積。2幾點注意幾點注意(1)定積分上一個常數(shù)，而不定積分是的原函數(shù)的全體。?badxxf)(?dxxf)()(xf(2)定積分的值只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)。即?????bababaduufdttfdxxf)()()((3)若時，我們規(guī)定。ba?0)(??badxxf(4)若時，規(guī)定。ba?????abbadxxfdxxf)()(3定積分的存在性定積分的存在性（1）若在[a，b]