數(shù)與代數(shù)應(yīng)用問題的內(nèi)容主線和教學(xué)建議

1、數(shù)與代數(shù)應(yīng)用問題的內(nèi)容主線和教學(xué)建議北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 張丹 張丹這里所指的“數(shù)與代數(shù)應(yīng)用問題”（以下簡稱應(yīng)用問題）是指運(yùn)用數(shù)與代數(shù)的知識(shí)和方法解決實(shí)際生活中的問題，這無疑是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)的重要目標(biāo)。要討論這個(gè)主題，首先需要說明的是本問為什么使用這個(gè)提法，卻沒有使用大家熟悉的“解決問題”和“算術(shù)應(yīng)用題”。與“應(yīng)用問題”相比，“解決問題”無疑是個(gè)更大范疇的概念。這既包括所涉及的領(lǐng)域不僅僅是數(shù)與代數(shù)的應(yīng)用，還包括空間與

2、圖形、統(tǒng)計(jì)與概率以及綜合運(yùn)用所有領(lǐng)域的知識(shí)和方法；同時(shí)解決問題也不僅僅局限于解決實(shí)際問題，還包括解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題。更為重要的，本文所持的觀點(diǎn)是把解決問題中的“問題”解釋為“非常規(guī)”的，學(xué)生必須經(jīng)歷探索、適當(dāng)?shù)膭?chuàng)造并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法加以解決的問題，即“問題解決”（Problem Solving）。即使都是解決實(shí)際問題，解決問題中的“問題”是具有真實(shí)意義的問題，它與學(xué)生的實(shí)際生活密切相關(guān)，往往需要考慮現(xiàn)實(shí)生活中的諸多因素，從而具有開

3、放的特點(diǎn)。解決這些問題，學(xué)生并無類似熟悉的題目和解法去模仿，需要學(xué)生進(jìn)行探索、討論和一定的創(chuàng)造。而應(yīng)用問題中的“問題”，盡管提倡要符合學(xué)生實(shí)際，并且力求具有一定的開放性，但總體來說，問題已經(jīng)經(jīng)過了一定的簡化，背景相對(duì)簡單，其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系也往往是學(xué)生熟悉的，因此學(xué)生所做的工作主要是分析出其中的數(shù)量關(guān)系，并聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法加以解決。需要指出的是，對(duì)比兩者并不是說我們不提倡解決問題，而主要是為了界定這里所討論的主題。實(shí)際上，我們更應(yīng)以

4、解決問題為理念和目標(biāo)，指導(dǎo)應(yīng)用問題的教學(xué)，比如注重學(xué)生思考的過程，設(shè)計(jì)的題目要符合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，適當(dāng)設(shè)計(jì)具有開發(fā)性的問題。算術(shù)應(yīng)用題是傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中沒有使用算術(shù)應(yīng)用題的名詞，并且提倡將計(jì)算和應(yīng)用結(jié)合起來，這并不是削弱應(yīng)用題的教學(xué)。實(shí)際上，傳統(tǒng)算術(shù)應(yīng)用題教學(xué)在整個(gè)小學(xué)階段對(duì)學(xué)生發(fā)展產(chǎn)生了重要的作用，但也確實(shí)存在著一些問題：第一，在學(xué)生解答的應(yīng)用題中，很大一部分

5、的內(nèi)容遠(yuǎn)離他們的生活，造成了應(yīng)用題“不應(yīng)用”。第二，過于注重問題的類型和固定解法，套搬題型的現(xiàn)象比較嚴(yán)重。誠然，這樣做可以提高學(xué)生解符合“題型”的問題時(shí)的速度。但設(shè)置應(yīng)用題的目的是培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，如果忽視對(duì)問題實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義的理解，只是套搬題型，學(xué)生的解決問題的能力又如何能提高？同時(shí)，原有應(yīng)用題的分類，在數(shù)學(xué)邏輯上無疑是正確的，但是否是學(xué)生真正思考問題和解決問題的途徑呢，學(xué)生是否必須要經(jīng)歷分辨題型才能解決問題呢，這些都需

6、要認(rèn)真思考。第三，呈現(xiàn)形式單一，基本上是純文字?jǐn)⑹觯瑫r(shí)所提供的信息往往是不多不少，這既無法激發(fā)學(xué)生解決問題的動(dòng)機(jī)，又與信息及其呈現(xiàn)形式豐富的現(xiàn)實(shí)世界不相符合。這些問題都在一定程度上造成了學(xué)生一接觸到生活中的實(shí)際問題，往往感到無從著手。第四，目前在小學(xué)高年級(jí)將使用方程解決應(yīng)用題，再使用算術(shù)應(yīng)用題的提法顯然也不科學(xué)。隨著代數(shù)的方法不斷四則運(yùn)算實(shí)際背景的不斷豐富構(gòu)成了教材編寫的一條線索，教師應(yīng)該對(duì)此加以梳理，并且思考如何能幫助學(xué)生理解和積累

7、這些背景。1.注重 注重“實(shí)際背景 實(shí)際背景”的積累 的積累“以加法做合并或移入的模型；以減法做拿走、比較、移出或加法逆運(yùn)算的模型；以乘法做大小的變化、交叉相或比率因子的使用的模型；以除法做比、率、比率除法、大小變化除法或乘法的逆運(yùn)算的模型”[1]。文中的“合并”、“移入”等筆者理解實(shí)際上就是指四則運(yùn)算的實(shí)際背景。例如，對(duì)于乘法的學(xué)習(xí)，在二年級(jí)開始時(shí)，教材一般會(huì)提供一些具有“相等的數(shù)的和”的結(jié)構(gòu)的實(shí)際情境，然后從中抽象出乘法；然后，學(xué)生

8、將開始接觸到具有“倍”的實(shí)際情境；在三年級(jí)面積學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生又接觸到乘法在“求長方形面積”的實(shí)際情境中的運(yùn)用。這些對(duì)于乘法實(shí)際背景的積累將一直延伸到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的乘法，特別是對(duì)于“倍”的認(rèn)識(shí)，將擴(kuò)充到“幾分之幾”。有關(guān)“組合”的實(shí)際情境在小學(xué)教材中也出現(xiàn)，比如搭配問題，但在小學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生通過操作、畫圖等策略加以解決，意在發(fā)展學(xué)生解決問題的策略，而不需要總結(jié)公式。由于實(shí)驗(yàn)教材對(duì)于運(yùn)算的實(shí)際背景大多安排為“暗線”，這就需要教師對(duì)教材進(jìn)行系統(tǒng)梳理，

9、找到實(shí)際背景不斷擴(kuò)充的這條線索。有的教師可能會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問，這和原來的十一類簡單應(yīng)用題類型又有什么不同呢？首先，我們不難看出，實(shí)際背景更加豐富了，比如乘法中的面積計(jì)算的實(shí)際背景。更主要的是，教師明確這些蘊(yùn)含一定“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的實(shí)際背景，不是要讓學(xué)生去背誦類似“一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的類型，而是提醒教師，學(xué)生此處增加了新的實(shí)際背景，學(xué)生也許不能從以前的實(shí)際背景的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)直接還原到運(yùn)算意義，而是需要經(jīng)歷將新的實(shí)際背景與運(yùn)算意義進(jìn)行聯(lián)系的過程，

10、此時(shí)在教學(xué)中的重點(diǎn)應(yīng)放在如何實(shí)現(xiàn)聯(lián)系上了。至于二者到底還有什么區(qū)別，這正是一個(gè)值得研究的問題。2.生活經(jīng)驗(yàn)、操作、畫圖的重要性 生活經(jīng)驗(yàn)、操作、畫圖的重要性那么，進(jìn)一步如何實(shí)現(xiàn)實(shí)際背景與運(yùn)算意義之間的聯(lián)系呢？為了使大家更好地理解，我們對(duì)比一下兩條途徑。第一條：問題情境——問題類型——運(yùn)算意義第二條：問題情境——經(jīng)驗(yàn)、操作、畫圖等—運(yùn)算意義在第一條套用類型的教學(xué)中，學(xué)生需要將問題情境中的數(shù)量關(guān)系與類型相對(duì)應(yīng)，然后決定用什么運(yùn)算。比如，看一