非線性規(guī)劃的matlab解法及其應(yīng)用

1、1題 目 非線性規(guī)劃的 非線性規(guī)劃的 MATLAB 解法及其應(yīng)用 解法及其應(yīng)用（一） （一）問題描述 問題描述非線性規(guī)劃是具有非線性約束條件或目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。非線性規(guī)劃是 20 世紀(jì) 50 年代才開始形成的一門新興學(xué)科。70 年代又得到進(jìn)一步的發(fā)展。非線性規(guī)劃在工程、管理、經(jīng)濟(jì)、科研、軍事等方面 都有廣泛的應(yīng)用，為最優(yōu)設(shè)計(jì)提供了有力的工具。在經(jīng)營(yíng)管理、工程設(shè)計(jì)、科學(xué)研究、軍事指揮等方面普

2、遍地存在著最優(yōu)化問題。例如：如何在現(xiàn)有人力、物力、財(cái)力條件下合理安排產(chǎn)品生產(chǎn)，以取得最高的利潤(rùn)；如何設(shè)計(jì)某種產(chǎn) 品，在滿足規(guī)格、性能要求的前提下，達(dá)到最低的成本；如何確定一個(gè)自動(dòng)控 制的某些參數(shù)，使系統(tǒng)的工作狀態(tài)最佳；如何分配一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)中各電站的負(fù)荷，在保證一定指標(biāo)要求的前提下，使總耗費(fèi)最??；如何安排庫(kù)存儲(chǔ)量，既能 保證供應(yīng)，又使儲(chǔ)存 費(fèi)用最低；如何組織貨源，既能滿足顧客需要，又使資金周轉(zhuǎn)最快等。對(duì)于靜態(tài)的最優(yōu)化 問題，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約

3、束條件出現(xiàn)未知量的非 線性函數(shù)，且不便于線性化，或勉強(qiáng)線性化后會(huì)招致較大誤差時(shí)，就可應(yīng)用非線性規(guī)劃的方法去處理。具有非線性約束條件或目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。非線性規(guī)劃研究一個(gè) n 元實(shí)函數(shù)在一組等式或不等式的約 束條件下的極值問題，且目標(biāo)函數(shù)和約束條件至少有一個(gè)是未知量的非線性函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)的情形則屬于線性規(guī)劃。本實(shí)驗(yàn)就是用 matlab 軟件來解決非線性規(guī)劃問題。（二） （二）基本要求 基本要

4、求掌握非線性規(guī)劃的 MATLAB 解法,并且解決相關(guān)的實(shí)際問題。 題一 題一 ：對(duì)邊長(zhǎng)為 3 米的正方形鐵板，在四個(gè)角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？題二 題二： 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個(gè)牌號(hào)，討論在產(chǎn)銷平衡的情況下如何確定各自的產(chǎn)量，使總利潤(rùn)最大. 所謂產(chǎn)銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市場(chǎng)上的銷量. 符號(hào)說明：z(x1,x2)表示總利潤(rùn)；p1，q1，x1 分別表示甲的價(jià)格、成本、銷量； p2，q2，x2

5、分別表示乙的價(jià)格、成本、銷量； aij，bi，λi,ci（i，j =1，2）是待定系數(shù). 題三 題三：設(shè)有400萬(wàn)元資金, 要求4年內(nèi)使用完, 若在一年內(nèi)使用資金x萬(wàn)元, 則可得效益 萬(wàn)元(效益不能再使用),當(dāng)年不用的資金可存入銀行, 年利率為10%. x試制定出資金的使用計(jì)劃, 以使4年效益之和為最大.（三） （三）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)題一 題一:設(shè)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為x，則水槽的容積為： ;建立無約束優(yōu) x x ) 2 3 ( 2

6、?化模型為：min y=- ， 0<x<1.5 x x ) 2 3 ( 2 ?題二： 題二：總利潤(rùn)為： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2 若根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出系數(shù) b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,3g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440; g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484; g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*

7、x(3)+x(4)-532.4; ceq=0主程序 youh4.m 為:x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];[x,fval]=fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1')（五） （五）運(yùn)行結(jié)果 運(yùn)行結(jié)果題一 題一: 運(yùn)算結(jié)果為: xmax = 0.5000,fmax

8、=2.0000.即剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為 0.5 米時(shí)水槽的容積最大,最大容積為 2 立方米. 題二： 題二：運(yùn)行結(jié)果為:x=23.9025, 62.4977, z=6.4135e+003 即甲的產(chǎn)量為 23.9025,乙的產(chǎn)量為 62.4977,最大利潤(rùn)為 6413.5.題三： 題三： 運(yùn)行結(jié)果為：x1=86.2;x2=104.2;x3=126.2;x4=152.8;z=43.1（六） （六）相關(guān)知識(shí) 相關(guān)知識(shí)用 Matlab Mat

9、lab 解無約束優(yōu)化問題 解無約束優(yōu)化問題 一元函數(shù)無約束優(yōu)化問題 2 1 ), ( min x x x x f ? ?常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval]= fminbnd（...）（4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（...） （5）[x，fval，exitflag，output]= fmin

10、bnd（...） 其中（3） 、 （4） 、 （5）的等式右邊可選用（1）或（2）的等式右邊。函數(shù) fminbnd 的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是 連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解。多元函數(shù)無約束優(yōu)化問題 多元函數(shù)無約束優(yōu)化問題 標(biāo)準(zhǔn)型為：min F(X) 命令格式為:（1）x= fminunc（fun,X0 ） ；或 x=fminsearch（fun,X0 ）（2）x= fminunc（fun,X0 ，opti