大一高數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念

1、1,引例,導(dǎo)數(shù)的定義,導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義,可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,求導(dǎo)舉例,第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念,(derivative),第二章 導(dǎo)數(shù)與微分,2,例1,直線運(yùn)動的瞬時速度問題,一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動,,已知路程 s 與時間 t 的,試確定t0時的瞬時速度v(t0).,一、引例,關(guān)系,這段時間內(nèi)的平均速度,在每個時刻的速度.,解,若運(yùn)動是勻速的,,平均速度就等于質(zhì)點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)走過的路程,3,,它越近似的,定義為,并稱之為t0時的瞬時速度v(t0

2、).,若運(yùn)動是非勻速的,,平均速度,是這段,時間內(nèi)運(yùn)動快慢的平均值,,越小,,表明 t0 時運(yùn)動的快慢.,因此, 人們把 t0時的速度,,此式既是它的定義式,又指明了它的計算,瞬時速度是路程對時間的變化率.,注,方法,,4,,處切線的斜率.,已知曲線的方程,確定點(diǎn),如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,,C在點(diǎn)M處的切線.,如圖,,,,,,,,,割線的極限位置——,切線位置.,例2,曲線在一點(diǎn)的切線問題,5,割線MN的斜率為,切線M

3、T的斜率為,,,,,,,,6,就其實(shí)際意義來說各不相同,,關(guān)系上確有如下的共性:,但在數(shù)量,上述兩例,,分別屬于運(yùn)動學(xué)、幾何學(xué)中的問題,,1. 在問題提法上,都是已知一個函數(shù),求y關(guān)于x在x0處的變化率.,2. 計算方法上,,(1) 當(dāng)y隨 x均勻變化時,用除法.,(2) 當(dāng)變化是非均勻時,需作平均變化率的,極限運(yùn)算:,7,定義,函數(shù),與自,平均變化率.,二、導(dǎo)數(shù)的定義,8,,存在,,平均變化率的極限:,(derivative),或有導(dǎo)

4、數(shù).,則稱此極限值為,或,可用下列記號,處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.,當(dāng)極限(1)式不存在時,,就說函數(shù) f (x)在x0,9,注：當(dāng)(1)式的極限為,有時也說在x0處導(dǎo)數(shù)是正(負(fù))無窮大,,正(負(fù))無窮時,,但這時導(dǎo)數(shù)不存在.,10,導(dǎo)數(shù)定義可以寫成多種形式:,或,,,,,特別，,11,,關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明,(1) 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)x0處的變化率,,它反映了,因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.,(2) 如果函數(shù)y = f (x)在開區(qū)間

5、I 內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo),,就稱函數(shù) f (x)在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo).,記作,(3) 對于任一,都對應(yīng)著 f (x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值.,這個函數(shù)叫做原來函數(shù)f (x)的,導(dǎo)函數(shù).,12,,,,即,或,13,例,用導(dǎo)數(shù)表示下列極限,練習(xí),14,,,,,解,,解,,,,,15,,,,,右導(dǎo)數(shù),4. 單側(cè)導(dǎo)數(shù),左導(dǎo)數(shù),(left derivative),(right derivative),16,,處的可導(dǎo)性.,此性質(zhì)常用于判定分段函數(shù)在,分

6、段點(diǎn),如果,在開區(qū)間,內(nèi)可導(dǎo),,都存在,,17,三、求導(dǎo)舉例(幾個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)),步 驟,18,例,解,即,,19,和差化積公式：,20,例,解,即,同理可得,21,例,解,即,更一般地,如,22,例,解,即,23,例,解,即,24,例,解,即,25,1.幾何意義,即,四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義,,,,,26,特別地:,27,例,解,得切線斜率為,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,,所求切線方程為,法線方程為,即,即,28,2.物理意義,路程

7、對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時速度;,變速直線運(yùn)動,29,電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度;,為物體的線(面,體)密度.,交流電路,非均勻的物體,質(zhì)量對長度(面積,體積)的導(dǎo)數(shù),30,該點(diǎn)必連續(xù).,定理,如果函數(shù),則函數(shù)在,五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,在點(diǎn)x處可導(dǎo),,證,即,根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系，可知,所以,,31,如,,該定理的逆定理不一定成立.,,注,連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件,不是可導(dǎo)的充分條件.,32,例,解,,33,練習(xí),為了使 f(x) 在x

8、0處可導(dǎo),,解,首先函數(shù)必須在x0處連續(xù).,由于,故應(yīng)有,應(yīng)如何選取a,b ?,34,又因,,從而,,當(dāng),f(x) 在x0處可導(dǎo).,35,導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): 增量比的極限;,導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;,函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);,求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù).,六、小結(jié),36,判斷可導(dǎo)性,,不連續(xù),一定不可導(dǎo).,連續(xù),,直接用定義;,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,37,思考題,(是非題),非,可導(dǎo);,但,不可導(dǎo).,38