第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

1、一、問題的提出,二、導(dǎo)數(shù)的定義,四、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,五、小結(jié) 思考題,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念,一、問題的提出,1.變速直線運動的瞬時速度問題,,,,,,考慮最簡單的變速直線運動－－自由落體運動，如圖,,取極限得,,,,,2.切線問題,割線的極限位置——切線位置,播放,2.切線問題,割線的極限位置——切線位置,2.切線問題,割線的極限位置——切線位置,2.切線問題,割線的極限位置——切線位置,2.切線問題,割線的

2、極限位置——切線位置,2.切線問題,割線的極限位置——切線位置,2.切線問題,割線的極限位置——切線位置,2.切線問題,割線的極限位置——切線位置,2.切線問題,割線的極限位置——切線位置,2.切線問題,割線的極限位置——切線位置,,,,如圖,,如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.,極限位置即,3.經(jīng)濟問題,二、導(dǎo)數(shù)的定義(derivative),定義,1. 函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù),其它形式

3、,即,★,★,關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：,★,注意:,★,在上式中雖然 x 可以取區(qū)間 I 內(nèi)的任何數(shù)值 , 但在取極限的過程中, x 是常量 , ? x 是變量.,播放,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的極限函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的極限函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的極限函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的極限函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的極限函數(shù).,2.導(dǎo)

4、函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的極限函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的極限函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的極限函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的極限函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的極限函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的極限函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的極限函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的極限函數(shù).,2. 求導(dǎo)數(shù)舉

5、例,步驟:,例1,解,例2,解,例3,解,更一般地,例如,,例4,解,例5,解,2.右導(dǎo)數(shù):(right-hand derivatives),3. 單側(cè)導(dǎo)數(shù),1.左導(dǎo)數(shù):(left-hand derivatives),★,★,★,題型,解題思路,,例6,解,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,,,,切線方程為,法線方程為,例7,解,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為,所求切線方程為,法線方程為,四、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函

6、數(shù).,證,連續(xù)函數(shù)不一定存在導(dǎo)數(shù).,例如,,注意: 該定理的逆定理不成立.,★,例如,,例如,,例8,解,五、小結(jié) 思考題,1. 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 增量比的極限,即瞬時變化率;,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;,4. 可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，但連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo);,5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù).,6. 判斷可導(dǎo)性,,不連續(xù),一定不可導(dǎo).,連續(xù),,直接用定義;,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,思考題,,思考題解答,三