大一高數(shù)筆記

1、導(dǎo)數(shù)與極限導(dǎo)數(shù)與極限（一）極限（一）極限1.概念概念（1）自變量趨向于有限值的函數(shù)極限定義（???定義）Axfax??)(lim?0???，0???，當(dāng)????||0ax時(shí)，有???|)(|Axf。（2）單側(cè)極限左極限：??)0(afAxfax???)(lim?0???，0???，當(dāng)????xa0時(shí)，有???|)(|Axf。右極限：??)0(afAxfax???)(lim?0???，0???，當(dāng)????ax0時(shí)，有???|)(|Axf。

2、（3）自變量趨向于無窮大的函數(shù)極限定義1：00????X?，當(dāng)Xx?，成立?????Axf，則稱常數(shù)A為函數(shù)??xf在x趨于無窮時(shí)的極限，記為??Axfx???lim。Ay?為曲線??xfy?的水平漸近線。定義2：00????X，?，當(dāng)Xx?時(shí)，成立?????Axf，則有??Axfx????lim。定義3：00????X，?，當(dāng)Xx??時(shí)，成立?????Axf，則有??Axfx????lim。運(yùn)算法則：1)1)若??Axf?lim，??

3、??xglim，則?????????xgxflim。2)2)若???????但可為0limAxf，????xglim，則???????xgxflim。3)3)若????xflim，則??01lim?xf。注：上述記號(hào)lim是指同一變化過程。（4）無窮小的定義0???，0???，當(dāng)????||0ax時(shí)，有??|)(|xf，則稱函數(shù))(xf在ax?時(shí)的無窮小（量），即0)(lim??xfax。（5）無窮大的定義0??M，0???，當(dāng)????

4、||0ax時(shí)，有Mxf?|)(|，則稱函數(shù))(xf在ax?時(shí)的無窮大（量），記為???)(limxfax。直線ax?為曲線??xfy?的垂直漸近線。2無窮小的性質(zhì)無窮小的性質(zhì)定理1有限多個(gè)無窮小的和仍是無窮小。定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。推論2有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小。無窮小與無窮大的關(guān)系若???)(limxfax，且)(xf不取零值，則)(1xf是ax?時(shí)的無窮小。3極限存在的判別法極限

5、存在的判別法（1）Axfax??)(lim?Aafaf????)0()0(。（4）若以x作為0?x時(shí)的基本無窮小量，則當(dāng))(kxO??（k為某一正數(shù)）時(shí)，稱?是k階無窮小量。定理1)(~?????o???。定理2設(shè)???~，???~，且????lim存在，則???????limlim。常用的等價(jià)無窮小0?x時(shí)，1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~??xexxxxxx，221~cos1xx?。（二）函數(shù)的連續(xù)性（二

6、）函數(shù)的連續(xù)性1定義定義若函數(shù))(xfy?在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則)(xf在點(diǎn)a處連續(xù)?)()(limafxfax??0lim0?????yx。2連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）均為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)；一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)。3間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)（1）間斷點(diǎn)的概念不連續(xù)的點(diǎn)即為間斷點(diǎn)。（2）間斷點(diǎn)的條件若點(diǎn)0x滿足下述三個(gè)條件之一，則0x為間斷點(diǎn)：（a）)(xf

7、在0x沒有定義；（b）)(lim0xfxx?不存在；（c）)(xf在0x有定義，)(lim0xfxx?也存在，但)()(lim00xfxfxx??。（3）間斷點(diǎn)的分類：（i）第一類間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)0x處左右極限存在。它又可分為下述兩類：可去間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)0x處左右極限存在且相等；跳躍間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)0x處左右極限存在但不相等；（ii）第二類間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)0x處的左右極限至少有一個(gè)不存在。4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

8、（1）概念若函數(shù))(xf在區(qū)間)(ba上每一點(diǎn)都連續(xù)，在a點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù)，則稱)(xf在區(qū)間][ba上連續(xù)。（2）幾個(gè)定理最值定理：如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間][ba上連續(xù)，則)(xf在此區(qū)間上必有最大和最小值。有界性定理：如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間][ba上連續(xù)，則)(xf在此區(qū)間上必有界。介值定理：如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間][ba上連續(xù)，則對(duì)介于)(af和)(bf之間的任一值c，必有][bax??，使得cxf??)(。零點(diǎn)定理：