差分方程模型應(yīng)用

1、第七章第七章差分方程模型差分方程模型差分方程是解決離散時(shí)間問題的常用的數(shù)學(xué)方法，本章介紹幾個(gè)用差分方程建立的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。7.1個(gè)人住房抵押貸款隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展金融問題正越來越多地進(jìn)入普通市民的生活，貸款、保險(xiǎn)、養(yǎng)老金和信用卡等都涉及金融問題，個(gè)人住房抵押貸款是其中最重要的一項(xiàng)。1998年12月中國人民銀行公布了新的存、貸款利率水平其中貸款利率如表7.1所列:表7.17.1中國人民銀行貸款利率表中國人民銀行貸款利率表貸款期限半年一年

2、三年五年五年以上利率﹪6.126.396.667.207.56當(dāng)貸款期處于表中所列相鄰年限之間時(shí)利率為對應(yīng)相鄰兩數(shù)中較大者。其后上海商業(yè)銀行對個(gè)人住房商業(yè)性貸款利率做出相應(yīng)調(diào)整。表7.2和表7.3分別列出了上海市個(gè)人住房商業(yè)抵押貸款年利率和商業(yè)抵押貸款(萬元)還款額的部分?jǐn)?shù)據(jù)(僅列出了五年)。表7.27.2上海市商業(yè)銀行住房抵押貸款利率表上海市商業(yè)銀行住房抵押貸款利率表貸款期限一年二年三年四年五年利率﹪6.126.2556.3906.5

3、256.660表7.37.3上海市商業(yè)銀行住房抵押貸款分期付款表（元）上海市商業(yè)銀行住房抵押貸款分期付款表（元）貸款期限一年二年三年四年五年月還款一次還清本息總和10612.0444.3610664.54305.9911015.63237.2611388.71196.4111784.71一個(gè)自然的問題是表7.2和表7.3是如何依據(jù)中央人民銀行公布的存、貸款利率水平制定的？我們以商業(yè)貸款10000元為例一年期貸款的年利率為6.12﹪到期一

4、次還本付息總計(jì)10612.00元這很容易理解。然而二年期貸款的年利率為6.255﹪月還款數(shù)444.36元為本息和的二十四分之一這后兩個(gè)數(shù)字究竟是怎樣產(chǎn)生的？是根據(jù)本息總額算出月還款額，還是恰好相反？讓我們稍微仔細(xì)一些來進(jìn)行分析。由于貸款是逐月歸還的就有必要考察每個(gè)月欠款余額的情況。設(shè)貸款后第個(gè)月時(shí)欠款余額為元，月還款元?jiǎng)t由變化到除了還款額kkAmkA1kA?外還有什么因素呢？無疑就是利息。但時(shí)間僅過了一個(gè)月當(dāng)然應(yīng)該是月利率設(shè)為從r而得到

5、1kkkAArAm????依據(jù)這兩個(gè)結(jié)論請讀者自己制定出住房商業(yè)性貸款直至二十年的利率表和還款額表。(2)還款周期我們看到個(gè)人住房貸款是采用逐月歸還的方法雖然依據(jù)的最初利率是年利率。那么如果采用逐年歸還的方法情況又如何呢？仍然以二年期貸款為例顯然只要對(7.7)式中的利率代之以年利率=0.06255那么由=2=0=10000則可以求出年還款額應(yīng)為rRk2A0A=5473.87(元)m~這樣本息和總額為2=10947.73(元)m~遠(yuǎn)遠(yuǎn)超

6、出逐月還款的本息總額?？紤]到人們的收入一般都以月薪方式獲得因此逐月歸還對于貸款者來說是比較合適的。讀者還可以討論縮短貸款周期對于貸款本息總額的影響。（3）平衡點(diǎn)回到差分方程(7.1)若令可解出1kkAAA???(7.8)Amr?稱之為差分方程的平衡點(diǎn)或稱之為不動(dòng)點(diǎn)。顯然當(dāng)初值時(shí)將恒有0Amr?。12kAmrk???在住房貸款的例子里平衡點(diǎn)意味著如果貸款月利率和月還款額是固定的則當(dāng)初rm貸款額稍大于或小于時(shí)從方程(7.1)的解的表達(dá)式(7

7、.7)中容易看出，欠款額Amr?kA隨著的增加越來越遠(yuǎn)離這種情況下的平衡點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的對一般的差分方程kmr=012，…(7.9)1()kkxfx??k稱滿足方程()xfx?的點(diǎn)為（7.9）的平衡點(diǎn)。若（7.9）的解x(7.10)則稱為limkkxx????x穩(wěn)定的平衡點(diǎn)否則稱為不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。判別平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定的一個(gè)方法是考察導(dǎo)xx數(shù):()fx（1）當(dāng)1時(shí)是不穩(wěn)定的。()fxx在金融乃至經(jīng)濟(jì)等其他領(lǐng)域中還有許多問題的數(shù)學(xué)模型都可以用差