差分方程模型的穩(wěn)定性分析及其應(yīng)用畢業(yè)設(shè)計論文

1、<p>　　差分方程模型的穩(wěn)定性分析及其應(yīng)用</p><p>　　The Stability Analysis and Application of the Differential Equation Model</p><p><b>　　摘 要</b></p

2、><p>　　本文首先對差分方程這一門課程進(jìn)行全面深入的研究，了解差分方程的背景，學(xué)習(xí)差分方程的理論知識，在此基礎(chǔ)上對差分方程的穩(wěn)定性進(jìn)行學(xué)習(xí).并研究相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，不僅使這一類常見問題更容易得到解決，更增加了人們的實踐經(jīng)驗.差分方程模型作為一種重要的數(shù)學(xué)模型可以使復(fù)雜的生活問題準(zhǔn)確、形象地反映出來，并通過對結(jié)果的分析對問題進(jìn)行評估與改善.我主要研究了五個差分模型，分別為金融問題：其一貸款問題研究了欠款，利率，還款額

3、等的關(guān)系，其二養(yǎng)老保險問題研究了交保費(fèi)，保險收益，利率等的關(guān)系；減肥計劃模型：此模型研究了節(jié)食與運(yùn)動對維持體重的影響關(guān)系，制定了減肥方案并給出了維持體重的辦法；市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型:通過產(chǎn)品的銷售價格和生產(chǎn)產(chǎn)量建立數(shù)學(xué)模型，在得出市場經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定的條件，并且對結(jié)果進(jìn)行分析,最后探討了在市場經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時政府能夠采用的干預(yù)措施；人口控制與預(yù)測模型：研究了人口總數(shù)的變化狀況；軍備力量模型：研究了軍備力量參與預(yù)測戰(zhàn)爭時的影響.在整個過程中，用M

4、ATLAB軟件進(jìn)行計算和畫圖.</p><p>　　關(guān)鍵詞：差分方程； 穩(wěn)定性； 數(shù)學(xué)建模；MATLAB</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　This paper firstly gives a profound and systemat

5、ic overview of the course of differential equation, including its background and the related theories, and uses these knowledge

6、60;as a basis to study the stability of the differential equations. Then the study of the related mathematical model is 

7、given, which will not only make solving this kind of common problems easier, but also provide more practical experience for&#

8、160;future studies. As an important mathematical model, the differential equation can r</p><p><b>　　MATLAB</b></p><p><b>

9、　　目 錄</b></p><p><b>　　1 基礎(chǔ)知識1</b></p><p>　　1.1 差分方程1</p><p>　　1.2 MATLAB介紹3</p><p>　　1.3 數(shù)學(xué)建模3</p><p>　　2 金融問題模型5</p><

10、p><b>　　2.1貸款問題5</b></p><p>　　2.2養(yǎng)老保險模型6</p><p>　　3 減肥計劃模型9</p><p><b>　　3.1問題重述9</b></p><p><b>　　3.2問題分析9</b></p><

11、p><b>　　3.3模型假設(shè)9</b></p><p><b>　　3.4符號說明9</b></p><p><b>　　3.5建立模型9</b></p><p><b>　　4 蛛網(wǎng)模型11</b></p><p>　　4.1問題重述1

12、2</p><p>　　4.2問題分析12</p><p>　　4.3符號說明12</p><p>　　4.4蛛網(wǎng)模型12</p><p>　　4.5差分方程模型14</p><p>　　4.6干預(yù)辦法15</p><p>　　4.7模型的推廣16</p><p&

13、gt;　　5 人口的預(yù)測與控制模型18</p><p>　　5.1問題重述18</p><p>　　5.2問題分析18</p><p>　　5.3建立模型18</p><p>　　5.4模型的擴(kuò)展20</p><p>　　6 軍備力量模型21</p><p>　　6.1問題重述21

14、</p><p>　　6.2問題分析21</p><p>　　6.3建立模型21</p><p><b>　　結(jié)論24</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)25</b></p><p><b>　　致 謝27</b></p>

15、;<p><b>　　基礎(chǔ)知識</b></p><p>　　差分方程表達(dá)的為有關(guān)離散變量的取值與變換的規(guī)律.它是根據(jù)所要解決的問題，引進(jìn)過程中或系統(tǒng)的離散變量，依照實際問題中背景的本質(zhì)、規(guī)律、相關(guān)聯(lián)系，寫出離散變量符合的關(guān)系等式，進(jìn)而建立差分方程.得到方程的解后利用分析方程的解，或分析方程的解的某些特性（如穩(wěn)定性、周期性等），進(jìn)而明確這些離散變量的變換進(jìn)程的規(guī)律，然后再連同其他

16、分析，從而得到原問題的解.</p><p><b>　　差分方程</b></p><p>　　差分方程的使用范圍十分普遍，因為能夠使離散變量的逼近與近似來表示連續(xù)變量，所以許多模型就可以類似于差分方程模型來解決.所以差分方法既可以在建立離散的數(shù)學(xué)模型進(jìn)程中使用，也可以在連續(xù)模型化為離散模型的數(shù)值計算中廣泛的使用.一般來說，但凡涉及到有關(guān)變量的規(guī)律、本質(zhì)，便能夠使用差分

17、方程模型去表達(dá)與分析求解.</p><p><b>　　差分方程的概念</b></p><p>　　差分：對于數(shù)列，稱在處的前向差分為差分算子：.并且稱在處的后向差分為差分算子：.本文皆是只前向差分.可知是關(guān)于的函數(shù).</p><p>　　進(jìn)而可以定義為處的二階差分為的差分：，它反映的為量的增量.同理可以定義為處的階差分.</p>

18、<p>　　差分方程：由某個函數(shù)多個不同時期值的符號或者某個函數(shù)的差分組成的方程稱為差分方程，其中大多形式為</p><p>　　或 </p><p>　　或 </p><p>　　通過差分方程的性質(zhì)和定義能夠知道，各種表達(dá)形式的差分方程能夠互相變換，各自相通.</

19、p><p>　　差分方程的解：若將某函數(shù)代入差分方程，讓方程兩邊相等，那么就稱此函數(shù)為差分方程的解，要是差分方程的階數(shù)與此方程的所有解中擁有互相獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)相同，那么就稱此解釋差分方程的通解,以便體現(xiàn)在變化過程中某一事物的客觀規(guī)律性，通常依據(jù)此事物在初始時刻所處情況，在差分方程上添加一定的條件，稱此為初始條件，若初始條件確定了通解中任意常數(shù)后，此解稱之為差分方程的特解[1].</p><p

20、><b>　　差分方程常用解法</b></p><p>　　常系數(shù)線性差分方程的解</p><p><b>　　方程</b></p><p><b>　　（1-1）</b></p><p>　　其中是常數(shù)，則稱方程（1-1）為常系數(shù)線性方程.并且稱方程</p>

21、<p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　是方程（1-1）相對應(yīng)的齊次方程.</p><p>　　若（1-2）的解形式為，代近方程中可以得到</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　則稱方程（1-3）是方程（1-1）和（1-2）的特征方程.

22、</p><p>　　可見，只要能夠得到方程（1-3）的根，就能夠求出方程（1-2）的解.</p><p><b>　　一般結(jié)果為：</b></p><p>　　如果方程（1-3）存在個不相同的實根，那么方程（1-2）有通解：</p><p>　　如果方程（1-3）存在重根,那么方程（1-2）通解可以表示為：</p

23、><p>　　如果方程（1-3）存在兩個單復(fù)根，記，，</p><p>　　,那么方程（1-2）通解可以表示為:</p><p>　　如果方程（1-3）存在重復(fù)根，記，那么方程（1-2）通解可以表示為:</p><p>　　由上可知，由于方程（1-3）恰好有個根，所以方程（1-2）的通解定有個相互獨(dú)立的任意常數(shù).記方程（1-2）的通解為：,若可以

24、得到方程（1-1）的一個特解：，那么方程（1-1）定有通解：</p><p><b>　　差分方程的變換解法</b></p><p>　　在差分方程的左右取有關(guān)的變換，然后寫出的變換，利用的變換，最后利用求解代數(shù)方程的方法求出，同時將展開成洛朗級數(shù)在解析圓環(huán)域里，此系數(shù)即為所要求的.</p><p><b>　　差分方程穩(wěn)定性<

25、/b></p><p>　　階常系數(shù)線性差分方程（1-1）穩(wěn)定的充分必要條件為它所相應(yīng)的特征方程（1-3）所有的特征根滿足[1].</p><p><b>　　一階非線性差分方程</b></p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　的平衡點(diǎn)由方程所決定，展開為泰勒形式將

26、在點(diǎn)處，因此：</p><p>　　當(dāng)時，方程（1-4）的解是穩(wěn)定的.</p><p>　　當(dāng)時，方程（1-4）的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的.</p><p><b>　　MATLAB介紹</b></p><p>　　MATLAB為一個面向科學(xué)與工程計算的高級語言，一個具有超強(qiáng)能力的數(shù)值計算和可視化特點(diǎn)的軟件.相對于別的計算機(jī)軟件

27、，MATLAB的運(yùn)行方式與人們計算公式時的思考方法非常類似，它編寫程序的過程就如同人們在演算紙上羅列出公式進(jìn)行求解，這避免了較多的重復(fù)、繁瑣的機(jī)械性的編寫程序細(xì)節(jié)，把重點(diǎn)放在有創(chuàng)造性問題上，在最短的時間內(nèi)得到更具價值的結(jié)果.</p><p>　　MATLAB具有許多特點(diǎn)，比如功能性強(qiáng)、容易學(xué)懂、效率高、應(yīng)用面廣泛、操作簡單、節(jié)約時間等.MATLAB不僅簡單好用，而且數(shù)據(jù)和圖像處理能力很是強(qiáng)大并且可以完成數(shù)值分析、

28、管理與調(diào)度優(yōu)化計算、通訊系統(tǒng)設(shè)計與仿真、工程與科學(xué)繪圖等眾多功能.現(xiàn)在MATLAB已經(jīng)演變成為一種大型軟件應(yīng)用在多科學(xué)、多工作平臺，被各個國家所接收和認(rèn)可并在一定程度上體現(xiàn)了國際上計算機(jī)軟件的總體水平，也成為了眾多大學(xué)生應(yīng)該熟練掌握的一項基本技能.本文在研究進(jìn)程中將會使用到制作圖像和求解功能.</p><p><b>　　數(shù)學(xué)建模</b></p><p>　　數(shù)學(xué)建模

29、是通過數(shù)學(xué)的知識和思想來簡單清晰的表示現(xiàn)實問題中的重點(diǎn)方面，以此完成現(xiàn)實中的問題，即通過使用各種數(shù)學(xué)辦法來完成現(xiàn)實問題. 數(shù)學(xué)建模是一個模擬過程，它是用程序、圖像、數(shù)學(xué)的公式等對實際問題進(jìn)行抽象、假設(shè)、簡化后用數(shù)學(xué)方式描述出來，它可以預(yù)料將來的進(jìn)行情況，可以說明一些客觀存在的現(xiàn)象，也可以為有些現(xiàn)象的未來走向提供在特定環(huán)境中最合適的方案或相對好的方法.數(shù)學(xué)模型建立不但要求對現(xiàn)實問題謹(jǐn)小慎微的分析和觀察，而且要求熟練應(yīng)用各個方面的數(shù)學(xué)知識.

30、</p><p>　　建立數(shù)學(xué)模型多數(shù)應(yīng)有如下幾個階段：最開始應(yīng)該明確研究的角色、目標(biāo)以及問題的類型是確定型還是隨機(jī)型；把問題簡單化后列出將要研究的因素，并把這些因素用參量和變量的方式表現(xiàn)出來；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法表達(dá)出問題中變量之間的聯(lián)系，一般是列成數(shù)學(xué)表達(dá)式，進(jìn)而建立了數(shù)學(xué)模型；通過各種數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)軟件等解出模型的解；把模型的結(jié)果轉(zhuǎn)換為與實際問題相適應(yīng)的清晰易懂的語言；最后進(jìn)行模型的檢測與評估.</p&

31、gt;<p><b>　　金融問題模型</b></p><p><b>　　2.1貸款問題</b></p><p><b>　　2.1.1問題重述</b></p><p>　　由于社會經(jīng)濟(jì)的飛速增長，人們生活水平的持續(xù)攀升，人們的經(jīng)濟(jì)需要更加增多.越來越多的人尤其是工薪階層需要通過貸款來

32、實現(xiàn)一些經(jīng)濟(jì)活動，比如買房、買車、向銀行貸款等等.作為貸款人必須清楚貸款的整個運(yùn)行過程，了解每一個細(xì)節(jié)尤其是要知道還款方式是等額本息還款法、等額本金還款法或是等本等息等額還款法亦或是其他方法.還應(yīng)清楚貸款總額，各種還款方式每期應(yīng)還款額，貸款時間以及貸款利率等.</p><p><b>　　2.1.2問題分析</b></p><p>　　在日常生活中較為常用的就是等額本

33、息還款法，因此在本文中只討論此貸款方法.等額本息還款法即為每期的所要還的錢數(shù)是一定的，而每期所還的本金在逐漸增多，利息越來越少,將通過貸款總值、貸款時間、貸款利率、每期還款額這些因素相互的聯(lián)系建立模型，再通過數(shù)學(xué)的遞推思想得出第期的欠款額，令欠款額為零時即可得到每期還款額的表達(dá)式[6].</p><p><b>　　2.1.3模型假設(shè)</b></p><p>　　貸款

34、期間貸款利率一直不變；</p><p>　　貸款人能如期償還每期的還款額；</p><p>　　貸款期間不考慮其他的經(jīng)濟(jì)問題影響.</p><p><b>　　2.1.4符號說明</b></p><p><b>　　:貸款總額；</b></p><p>　　:貸款期限（以月計

35、算）；</p><p>　　:第個月的欠款額()；</p><p><b>　　:貸款月利率；</b></p><p><b>　?。好吭逻€款額.</b></p><p><b>　　2.1.5建立模型</b></p><p>　　等額本息還款法中每月所

36、還的錢應(yīng)等于每月所還的本金加上每月利息，即為</p><p>　　則有第個月還款后欠款額：</p><p>　　第1個月還款后欠款額：</p><p>　　第2個月還款后欠款額：</p><p>　　第3個月還款后欠款額：</p><p><b>　　.</b></p><p&

37、gt;<b>　　.</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　第個月還款后欠款額：</p><p>　　應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法和等比級數(shù)求和公式可得</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　當(dāng)?shù)竭_(dá)最后期限即

38、時，有，帶入（2-1）式可得</p><p><b>　　（2-2）</b></p><p>　　(2-2)式即為等額本息還款法中每月還款額.</p><p><b>　　2.1.6舉例</b></p><p>　　買一輛11萬元的汽車，首付.分12個月還完，年利率為，分別用等額本息和等額本金還款法

39、計算，并進(jìn)行分析.</p><p>　　貸款金額為元；月利率為；</p><p><b>　　等額本息還款法：</b></p><p>　　貸款期限為12個月；每月還款額為</p><p><b>　　元</b></p><p>　　所以還款總額元,其中總利息為3361元.&

40、lt;/p><p><b>　　等額本金還款法：</b></p><p><b>　　還款總額：元</b></p><p>　　其中總利息為2740.24元.</p><p>　　由上可知，等額本金還款法所付的利息相對等額本息還款法要少些，并且還款時間越長，利息差值越大.</p><

41、p><b>　　2.2養(yǎng)老保險模型</b></p><p><b>　　2.2.1問題重述</b></p><p>　　隨著社會的不斷發(fā)展，人們生活水平的持續(xù)攀升，人們平均壽命也有所增加，以至于我國慢慢進(jìn)入老齡化階段.為了確保人們老年后的生活有所保障，使得養(yǎng)老保險問題備受關(guān)注.現(xiàn)有一保險公司提出了一個養(yǎng)老保險策略，為投保人每月繳費(fèi)200元一

42、直到59歲末，從60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金.如果投保人從25歲開始投保，那么60歲以后每月可得2282元養(yǎng)老金，如果投保人從35歲開始投保，那么60歲以后每月可得1056元養(yǎng)老金.</p><p><b>　　2.2.1問題分析</b></p><p>　　本文要研究此保險公司每月至少要有多少投資收益率才能確保保險責(zé)任.即保險公司為確保保險人的保險收益必需利用保險人所交的保

43、費(fèi)最少收獲多少利潤.通過繳納的保費(fèi)和收益的總值，每月收益率，60歲前每月繳費(fèi)額，60歲后每月領(lǐng)取額，終止繳納保險費(fèi)與終止領(lǐng)取養(yǎng)老金的月份之間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型.</p><p><b>　　2.1.3模型假設(shè)</b></p><p>　　投保人能按期繳納保險費(fèi)</p><p><b>　　2.1.4符號說明</b><

44、/p><p>　?。航刂沟降趥€月所交保費(fèi)和收益的總額;</p><p><b>　　：每月收益率;</b></p><p>　?。?0歲前每月繳費(fèi)額; </p><p>　?。?0歲后每月領(lǐng)取額;</p><p>　　:停繳保險費(fèi)的月份;

45、 </p><p>　　:停領(lǐng)養(yǎng)老金的月份.</p><p><b>　　2.1.5建立模型</b></p><p>　　在全部過程中，可知：</p><p>　　(2-3) </p><p>　　其中代表的是從投保人開始交保費(fèi)月后算起的.</p

46、><p>　　所要研究的是在第個月時，的數(shù)值為多少.若為正數(shù)，那么代表保險公司最終獲；若為負(fù)數(shù)，那么代表保險公司最終虧損；若為零，那么代表保險公司最終一無所有，投保人最終獲益.</p><p><b>　　2.1.6舉例</b></p><p>　　某男子從25歲開始投保，假設(shè)男子活到75歲，所以</p><p>　　,由（

47、2-3）式可得：</p><p><b>　　(2-4)</b></p><p>　　在（2-4）式中，分別取,可得</p><p>　　設(shè) 利用MATLAB軟件編寫代碼如下：</p><p><b>　　syms x</b></p><p>　　F=x^600-12.14*

48、x^180+11.41;</p><p>　　x=solve(F)</p><p>　　由于一定大于1，對眾多的根進(jìn)行分析可得， ，即求出每月收益率為：</p><p>　　用同樣的方法也可求出，35歲開始投保的每月收益率為：</p><p><b>　　減肥計劃模型</b></p><p>&l

49、t;b>　　3.1問題重述</b></p><p>　　在現(xiàn)代社會中，越來越多的人們尤其女性認(rèn)為瘦是衡量美的一種重要標(biāo)準(zhǔn)，因此許多自感肥胖的人開始嘗試用各種方法減肥，但是減肥藥和節(jié)食等方法都是存在安全隱患的.專家表明：想要在健康的條件下達(dá)到減肥的效果并且維持下去，只有利用控制飲食和進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動.通常用體重指標(biāo)（簡記）來衡量體重，為體重（千克）除以身高（米）的平方.當(dāng)時，體重為正常；當(dāng)時，體重為

50、超重；當(dāng)時，體重為肥胖.</p><p><b>　　3.2問題分析</b></p><p>　　一般，但凡人體內(nèi)的能量守恒被破壞就將會導(dǎo)致體重的變化.人們在飲食過程中吸收熱量，以至體重增加；人們又通過運(yùn)動以及代謝消耗熱量，以至體重減少.當(dāng)然減肥的前提是不傷害身體，所以要求每天吸收的熱量不能過多，體重減少的也不能過快了.由此就可以通過體重，吸收熱量，消耗熱量的關(guān)系建立

51、數(shù)學(xué)模型.</p><p><b>　　3.3模型假設(shè)</b></p><p>　?。á瘢?增加的體重與吸收的熱量成正比，每吸收8000千卡熱量體重增加1千克,</p><p>　　由代謝導(dǎo)致的體重減少與體重成正比，一般一公斤體重每周消耗200千卡到320千卡的熱量（每人不同），即為一個70千克的人每天消耗2000千卡到3200千卡的熱量[7]

52、.</p><p>　?。á颍┻\(yùn)動導(dǎo)致的體重減少與體重成正比，并且與運(yùn)動的時間和形式相關(guān).</p><p>　?。á螅楸ＷC身體的健康，一周內(nèi)吸收的熱量不能小于10000千卡，一周內(nèi)體重減少不能超過1.5千卡.</p><p><b>　　3.4符號說明</b></p><p><b>　　：第周末體重；<

53、;/b></p><p><b>　　：第周吸收的熱量；</b></p><p><b>　?。簾崃哭D(zhuǎn)換系數(shù)；</b></p><p>　?。好啃r每千克體重運(yùn)動消耗的熱量（千卡）</p><p>　?。好恐苓\(yùn)動的時間（小時）</p><p>　?。捍x消耗系數(shù)（因人而

54、異）；</p><p><b>　?。哼\(yùn)動消耗系數(shù)</b></p><p><b>　　3.5建立模型</b></p><p>　　可知體重變化的方程為</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　3.5.1減肥計劃的提出<

55、/p><p>　　現(xiàn)為一個具體的人制定減肥計劃來探討此模型的應(yīng)用.</p><p>　　某人高為1.7米，體重為100千克，，現(xiàn)在每周平均吸收20000千卡熱量，并保證體重不發(fā)生改變.現(xiàn)若讓此人體重減到75千克并且保持下去，請依照以下三點(diǎn)制定減肥計劃：</p><p>　　當(dāng)不進(jìn)行任何運(yùn)動時計劃劃分為兩個階段，第一階段：每周控制飲食慢慢減少吸收的熱量，使每周體重減1千克

56、，一直到所吸收熱量的最低點(diǎn)（10000千卡）；第二階段：每周吸收的熱量維持在下限，直至達(dá)到減肥的目標(biāo).</p><p>　　在第二階段添加運(yùn)動以加速減肥速度，重新制定第二階段方案.</p><p>　　制定一個達(dá)到目標(biāo)體重后保持體重的策略.</p><p>　　3.5.2減肥計劃的制定</p><p>　?。á瘢┰诓贿M(jìn)行運(yùn)動時，可知，已知千卡

57、，千克，（千克/千卡），由（5-1）式可得</p><p>　　也就是每周每千克體重消耗千卡的熱量.</p><p>　　第一階段：需要每周體重減1千克，一直到所吸收的熱量成為最低點(diǎn)（10000千卡），可得</p><p>　　帶入（5-1)式可得</p><p>　　再將帶入上式，又因吸收熱量的下限為10000千卡，可得</p>

58、<p>　　說明第一階段為10周，熱量的吸收是依照</p><p>　　使得每周體重減少1千克，到第10周末體重減為90千克.</p><p>　　第二階段：每周吸收的熱量維持在下限，要將體重減到75千克，由（3-1）可得</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　對（5-2）式進(jìn)

59、行遞推并用等比數(shù)列求和可得</p><p><b>　　（3-3）</b></p><p>　　將代入（3-3）可得</p><p>　?。?-4） </p><p>　　說明第二階段為19周，在吸收的熱量每周維持在10000千卡時，依照 </p><p>

60、;　　減到目標(biāo)體重75千克.</p><p>　　（Ⅱ）依據(jù)查詢資料可知每小時每千克體重各項運(yùn)動消耗的熱量如下：</p><p>　　表5-1 各項運(yùn)動消耗的熱量</p><p>　　在第二階段添加運(yùn)動以加速減肥進(jìn)程，其中，在此取，故，那么（3-4）式中的應(yīng)改為,則（3-4）式為</p><p>　　說明如果在第二階段增加的運(yùn)動（如一周騎10

61、小時自行車或跳8小時的舞蹈），那么第二階段將會減為14周.</p><p>　?。á螅┤粝脒_(dá)到目標(biāo)后保持體重，那么要使每一周吸收的熱量都維持某常數(shù)，</p><p>　　并讓體重維持不變，由（3-1）式可得</p><p>　　可得出：如果不運(yùn)動，千卡；</p><p><b>　　如果運(yùn)動，千卡.</b></p&

62、gt;<p><b>　　蛛網(wǎng)模型</b></p><p><b>　　4.1問題重述</b></p><p>　　在處于完全自由的經(jīng)濟(jì)市場里，許多商品的銷售和生產(chǎn)明顯表現(xiàn)出周期性.主要體現(xiàn)在：在一定時期里商品的生產(chǎn)產(chǎn)量、銷售價格和銷售量是穩(wěn)定的，所以這些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)在某個時期里是離散變量的形式.商品的銷售價格和生產(chǎn)產(chǎn)量是最為關(guān)注的兩個

63、因素，若要做好經(jīng)營，獲得較好的經(jīng)濟(jì)效益，必須掌握好這兩個經(jīng)營過程中的最重要的因素.</p><p><b>　　4.2問題分析</b></p><p>　　由于本期產(chǎn)品的銷售價格決定于消費(fèi)者的需求關(guān)系，產(chǎn)品數(shù)量越少就會導(dǎo)致價格越高.然而下一期產(chǎn)品的數(shù)量決定于供應(yīng)關(guān)系，產(chǎn)品的價格越高生產(chǎn)的數(shù)量就越多.市場經(jīng)濟(jì)中的產(chǎn)品數(shù)量與價格產(chǎn)生的振蕩決定于這種供求關(guān)系.事實上，存在各

64、種形式的振蕩，既有可能振幅越來越小直至趨于平穩(wěn)，也有可能振幅越來越大，此時若沒沒有外界的干預(yù)（如政府）極有可能致使經(jīng)濟(jì)崩潰.</p><p>　　通過產(chǎn)品的銷售價格和生產(chǎn)產(chǎn)量建立數(shù)學(xué)模型，在得出市場經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定的條件，并且對結(jié)果進(jìn)行分析，再探討政府能夠采用的干預(yù)措施在市場經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時.</p><p><b>　　4.3符號說明</b></p><

65、p><b>　?。旱跁r段產(chǎn)品的數(shù)量</b></p><p><b>　?。旱跁r段產(chǎn)品的數(shù)量</b></p><p>　　:平衡點(diǎn)在函數(shù)的斜率的絕對值</p><p>　?。浩胶恻c(diǎn)在函數(shù)的斜率的絕對值</p><p><b>　　4.4蛛網(wǎng)模型</b></p>

66、<p>　　將時間離散化劃分為若干段，產(chǎn)品的一個生產(chǎn)周期即為一個時段，由于在一個時間段中產(chǎn)品的銷售價格由產(chǎn)品產(chǎn)量決定，因此可設(shè)：</p><p><b>　　（4-1）</b></p><p>　　它是需求函數(shù)，體現(xiàn)的是此商品與消費(fèi)者的需求關(guān)系.由于產(chǎn)品的銷售產(chǎn)量與價格成反比，故是單調(diào)遞減的函數(shù).</p><p>　　由于上一個時段

67、的銷售價格決定了下一個時段產(chǎn)品的產(chǎn)量，因此可設(shè)：</p><p>　　或 （4-2）</p><p>　　為的反函數(shù)，它們都是供應(yīng)函數(shù)，體現(xiàn)的是生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系.由于本時段價格與下時段生產(chǎn)產(chǎn)量成正比，故是單調(diào)遞增的函數(shù).</p><p>　　通過函數(shù)和反映和的變化過程，把點(diǎn)列和利用對應(yīng)的幾何關(guān)系畫出來，即將點(diǎn)列連接起來（見圖4-1），則將

68、連成折線形似蛛網(wǎng)，因此這種用圖形來研究市場經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定性稱為蛛網(wǎng)模型.</p><p>　　圖4-1 圖4-2</p><p>　　可見，若點(diǎn)列最終收斂于點(diǎn)，即而且點(diǎn)是函數(shù)和的交點(diǎn)，則代表市場經(jīng)濟(jì)在未來的一段時間里將會趨向穩(wěn)定.若沒有收斂于一點(diǎn)（見圖4-2），則代表市場經(jīng)濟(jì)將會趨向不穩(wěn)定.通常，是由消費(fèi)者的消費(fèi)能力和需求程度決定

69、的，是由生產(chǎn)者的經(jīng)營能力和生產(chǎn)能力等因素決定的[8].</p><p>　　通過分析圖形可知：當(dāng)時，點(diǎn)是穩(wěn)定的；</p><p>　　當(dāng)時，點(diǎn)是不穩(wěn)定的.</p><p><b>　　舉例說明蛛網(wǎng)模型：</b></p><p>　　設(shè)：產(chǎn)品的本期產(chǎn)品數(shù)量由上期的銷售價格決定，那么供給函數(shù)是，產(chǎn)品本期的需求量由本期產(chǎn)品銷售

70、價格，那么需求函數(shù)是，那么結(jié)合動態(tài)供需均衡模型，蛛網(wǎng)模型可以表達(dá)為：</p><p>　　其中都是正值.由上述三式可得：</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　因此能夠知道第期的產(chǎn)品價格是：</p><p>　　由于市場是均衡的，故有均衡價格，帶入（4-3）式得，將其帶入上式有</p&

71、gt;<p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　對（4-4）式進(jìn)行分析可得：</p><p>　　當(dāng)時，那么，稱為收斂型蛛網(wǎng)；</p><p>　　當(dāng)時，那么，稱為發(fā)散型蛛網(wǎng)；</p><p>　　當(dāng)時，那么是常數(shù)，稱為封閉型蛛網(wǎng).</p><p><b>

72、;　　4.5差分方程模型</b></p><p>　　分別取函數(shù)和在點(diǎn)附近的近似曲線，可得：</p><p><b>　　（4-3）</b></p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　將（4-3）和（4-4）合并后能得：</p><p>

73、<b>　?。?-5）</b></p><p>　　對（4-5）進(jìn)行遞推可得：</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　由（4-6）可得，當(dāng)時，則當(dāng)或時點(diǎn)穩(wěn)定；</p><p>　　當(dāng)時， 則當(dāng)或時點(diǎn)穩(wěn)定；</p><p>　　由于是點(diǎn)在上的切線斜

74、率，是點(diǎn)在上的切線斜率，則有，可見差分方程模型與蛛網(wǎng)模型結(jié)果是相同的.</p><p>　　從（4-3）可得，的意義是產(chǎn)品的數(shù)量下降一單位時銷售價格的上升幅度，因此代表的是購買者對產(chǎn)品需要的靈敏度，若是生活必需的產(chǎn)品，并且消費(fèi)者的狀態(tài)是持幣待購，一旦產(chǎn)品的數(shù)量缺少，人們就會搶購，則相對較大.的意義為這期銷售價格上升一單位是產(chǎn)品數(shù)量的增加量，因此代表生產(chǎn)者對產(chǎn)品價格的靈敏度，若生產(chǎn)者貪圖當(dāng)下的高利潤，一旦價格上升就

75、增多生產(chǎn)，則相對較大.</p><p><b>　　4.6干預(yù)辦法</b></p><p>　　綜上可知，當(dāng)一定時，越小，代表購買者對產(chǎn)品需要的靈敏度就越小，越對經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利;當(dāng)一定時，越小，代表生產(chǎn)者對產(chǎn)品價格的靈敏度就越小，越對經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利.相反的，當(dāng)，越大時，越對經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定不利.</p><p>　　圖4-3

76、 圖4-4</p><p>　　存在兩種干預(yù)辦法在市場經(jīng)濟(jì)傾向不穩(wěn)定時，第一種是讓盡可能小，為了更加明顯研究的情況，也就是的圖像為水平直線（見圖4-3），此刻市場經(jīng)濟(jì)永遠(yuǎn)是穩(wěn)定的無論如何變化（也就是無論多大）.現(xiàn)實中就相當(dāng)于控制價格不能變化，不管產(chǎn)品數(shù)量為多少，即政府控制物價.第二種是讓盡可能小，為了更加明顯研究的情況，也就是的圖像為豎直直線（見圖4-4），此刻市場經(jīng)濟(jì)永遠(yuǎn)是穩(wěn)定的無論

77、如何變化（也就是無多大）.現(xiàn)實中就相當(dāng)于不管產(chǎn)品的價格為多少，產(chǎn)品數(shù)量不能變化，當(dāng)供不應(yīng)求時將從其他地方購買或調(diào)貨過來，當(dāng)供應(yīng)多于需要時，收購多于部分.</p><p><b>　　4.7模型的推廣</b></p><p>　　為了更加謹(jǐn)慎生產(chǎn)者在計算下一期的產(chǎn)品數(shù)量時，不但考慮這期的銷售價格也考慮前一期的銷售價格，則（4-2）式將變?yōu)椋?lt;/p><

78、;p><b>　?。?-7）</b></p><p>　?。?-2）式的近似直線（4-4）相應(yīng)的改為：</p><p><b>　　（4-8）</b></p><p>　　由于（4-1）式和（4-3）式?jīng)]有變化，所以合并（4-3）式和（4-8）式可得：</p><p><b>　?。?/p>

79、4-9）</b></p><p>　　只要方程的特征根都在單位圓里，那么當(dāng)時，即點(diǎn)穩(wěn)定.</p><p>　?。?-9）式的特征方程為： </p><p><b>　　（4-10）</b></p><p>　　并得出（4-10）的特征根為</p><p><b>　?。?-

80、11）</b></p><p><b>　　當(dāng)時，有</b></p><p>　　因而，故不在單位圓內(nèi)，所以舍去.當(dāng)時，可由（4-11）式得：</p><p>　　如果讓所有特征根在單位圓里，也就是，所有</p><p><b>　?。?-12）</b></p><p

81、>　　（4-12）式即為點(diǎn)穩(wěn)定的條件.與之前點(diǎn)穩(wěn)定的條件相比，這個模型的的使用范圍都放寬了，即穩(wěn)定性條件變寬了.</p><p>　　若要更深一步的研究這個模型，在計算下一期的產(chǎn)品數(shù)量時，可考慮最近三年來的價格，即.</p><p>　　人口的預(yù)測與控制模型</p><p><b>　　5.1問題重述</b></p><

82、;p>　　隨著生活水平的不斷提高，人口問題備受人們的關(guān)注.人口的均衡發(fā)展是與每一個國家息息相關(guān)的，有些國家的出生率過高，持續(xù)發(fā)展下去會對人們的正常生活產(chǎn)生很大的影響；又有些國家的自然增長率接近于零更有甚者成為負(fù)數(shù)，對國家的發(fā)展也很是不利的，如缺少勞動力.我國在人口問題上就有很大問題，不但人口總數(shù)增長率太高，并且人口老齡化問題日益明顯.所以現(xiàn)在最重要的任務(wù)就是在控制人口增長率的情況下有效的控制人口老齡化問題，盡量將年齡結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)成適當(dāng)

83、的水平.</p><p><b>　　5.2問題分析</b></p><p>　　每個地方人口數(shù)量的變化都是由多種因素所決定的，例如國家政策，社會發(fā)展水平，遷移，自然災(zāi)害等.本文主要研究性別比例，女性生育率與死亡率對人口數(shù)量的影響.通過總?cè)藬?shù)，死亡率，性別比例，生育率的關(guān)系建立差分模型.</p><p><b>　　5.3建立模型&l

84、t;/b></p><p>　　為了便捷定義時間單位為年，即將時間離散化.設(shè)第年為歲的人數(shù)是(其中歲為最大年齡)；第年為歲的人口死亡率是，也就是第年為歲的人中死亡總數(shù)與總?cè)藬?shù)的比：</p><p><b>　　由此可得到：</b></p><p>　　第年為歲女性的生育率是，生育區(qū)間是；第年為歲的人口女性比是，也就是第年為歲的人中女性總數(shù)

85、與第年總?cè)藬?shù)的比.</p><p>　　可見，在第年出生的總?cè)藬?shù)是：</p><p>　　其中，第年嬰兒存活下來的數(shù)量為</p><p>　　有 代表歲女性的總生育率，那么有，若假定女性生育率一直維持不變，那么：</p><p>　　可知：代表平均生育孩子的數(shù)量每個女性一生中，體現(xiàn)了人口數(shù)量變化的基本因素，定義為總和生育率.</p>

86、;<p><b>　　綜上可得：</b></p><p><b>　　記可得：</b></p><p><b>　　并且有</b></p><p>　　以便深入的表達(dá)人口數(shù)量的狀況，用向量說明此問題.</p><p>　　用代表人口的分布向量，即</p>

87、;<p><b>　　記存活率矩陣為：</b></p><p><b>　　記生育模式矩陣為：</b></p><p><b>　　那么可知</b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　這里是狀態(tài)變量，是控制變量.&l

88、t;/p><p>　　在實際應(yīng)用中，可以通過查閱資料了解人口最原始的分布與存活率矩陣,同時知道了生育模式矩陣,那么再知道總和生育率后就可以預(yù)測未來的人口數(shù)，若想控制未來人口數(shù)就通過改變總和生育率.</p><p><b>　　5.4模型的擴(kuò)展</b></p><p>　　以便于更加全面的表達(dá)人口的相關(guān)因素，還可以加入以下因素： </p>

89、<p><b>　　人口總數(shù)：</b></p><p><b>　　平均年齡：</b></p><p><b>　　平均壽命：</b></p><p>　　利用這三個因素與關(guān)系，在原有的模型上進(jìn)行擴(kuò)展，對此模型更加具體科學(xué)的分析.</p><p><b>

90、;　　軍備力量模型</b></p><p><b>　　6.1問題重述</b></p><p>　　歷史證明武器會觸發(fā)一個國家宣布戰(zhàn)爭.大型軍械庫的存在會增加暴力沖突的可能性.如果沒有破壞性武器，有時國與國之間也許會以其他方式解決爭端.因此對軍備競賽進(jìn)行研究是至關(guān)重要的，軍備競賽即為在不戰(zhàn)爭時期與對立國家或者可能成為對立國家互相當(dāng)成假想敵，進(jìn)行質(zhì)量與數(shù)量在

91、軍備部分的競爭.每個國家考慮到將來有可能觸發(fā)的戰(zhàn)爭，擴(kuò)大軍備，提高軍事水平.</p><p><b>　　6.2問題分析</b></p><p>　　一個國家的軍備力量是由多方面所決定的，本文中將通過理查森軍備競賽模型來建立數(shù)學(xué)模型對軍備力量進(jìn)行研究.軍備競賽往往是戰(zhàn)爭的前兆.如果兩個國家都增加國防支出，那么即使是一件小事也會觸發(fā)戰(zhàn)爭.而如果兩國減少國防支出，小事不會

92、觸發(fā)戰(zhàn)爭.因此將用一個具體的例子用此模型來檢驗這場軍備競賽是“穩(wěn)定”還是“不穩(wěn)定”.</p><p><b>　　6.3建立模型</b></p><p>　　現(xiàn)假設(shè)國在時間的軍備力量為，國從 時 到 時的軍備力量的變化表示為：</p><p>　　這個模型同樣適用于國,國在時間的軍備力量為,國從時到時的軍備力量的變化表示為：</p>

93、;<p>　　考慮到一國軍備力量對另一國的影響，需引入對方軍備力量對自己影響程度的相關(guān)系數(shù)，即有：</p><p>　　再考慮到自己以往軍備力量對現(xiàn)在的影響，需引入自身制約程度的系數(shù)，即有：</p><p>　　最后考慮到其他因素，如管理者的野心，政治格局等，需引入一個常量，即有：</p><p><b>　?。?-1）</b>&

94、lt;/p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　仔細(xì)思考表6-1中的數(shù)據(jù)，該表顯示的是伊拉克和伊朗在1975年戰(zhàn)爭之前的軍備力量.表中的數(shù)據(jù)是兩國從1954年到1974年的軍備費(fèi)用/國防支出.</p><p>　　表6-1 軍備費(fèi)用/國防支出</p><p>　　利用表6-1中的數(shù)據(jù)計算出（6-1）式

95、和（6-2）式中的系數(shù)，可以通過MATLAB軟件編寫代碼如下：</p><p>　　data = [7875;10767;12694;151102;</p><p>　　243110;271129;292145;320185;345206;</p><p>　　387271;425359;435402;460450;473480;<

96、/p><p>　　498513;534549;612723;732781;840921;</p><p>　　9801292;13081632];</p><p>　　>> x = data(2:end,1);</p><p>　　>> y = data(1:end-1,:)</p><p

97、><b>　　y =</b></p><p>　　78 75</p><p>　　107 67</p><p>　　126 94</p><p>　　151 102</p><p>　　243 110<

98、;/p><p>　　271 129</p><p>　　292 145</p><p>　　320 185</p><p>　　345 206</p><p>　　387 271</p><p>　　425

99、 359</p><p>　　435 402</p><p>　　460 450</p><p>　　473 480</p><p>　　498 513</p><p>　　534 549</p><p>　　61

100、2 723</p><p>　　732 781</p><p>　　840 921</p><p>　　980 1292</p><p>　　>> LinearModel.fit(y,x)</p><p><b>　　ans = <

101、;/b></p><p>　　Linear regression model:</p><p>　　y ~ 1 + x1 + x2</p><p>　　Estimated Coefficients:</p><p>　　Estimate SE tStat pValue </p><p

102、>　　(Intercept) 37.063 26.353 1.4064 0.17761</p><p>　　x1 0.65077 0.1651 3.9416 0.0010523</p><p>　　x2 0.43169 0.12041 3.5853 0.0022

103、805</p><p>　　因此可得： </p><p><b>　　(6-3)</b></p><p><b>　　同理可得：</b></p><p><b>　　(6-4)</b></p><p>　　使用線性代數(shù)，可以解出系統(tǒng)穩(wěn)定性.現(xiàn)將

104、（6-3）式和（6-4）式化為矩陣式，模型如下：</p><p><b>　　（6-5）</b></p><p>　　現(xiàn)用向量表示，向量表示，該模型可以簡化為：</p><p>　　找出并使用特征值和特征向量，解出（6-5）式齊次部分的通解，得出以下的解：</p><p>　　用公式解出（6-5）式非齊次的部分特解,如下

105、：</p><p><b>　　綜上，最終的通解是</b></p><p>　　由此可知當(dāng)時，(1.266798)這項的增長是趨于無限的.因此這個系統(tǒng)不穩(wěn)</p><p><b>　　定，將會導(dǎo)致戰(zhàn)爭.</b></p><p>　　一場穩(wěn)定的軍備競賽中至少存在一個或兩個國家都滿意的平衡點(diǎn).雙方都沒必

106、要加強(qiáng)軍備力量，超出這個平衡點(diǎn).軍備競賽中的平衡點(diǎn)代表了軍備力量的水平，所以這時軍備競賽停止.由于軍備力量的價值，所以兩國都沒必要改變軍備力量.而一場不穩(wěn)定的軍備競賽中不存在平衡點(diǎn).軍備費(fèi)用持續(xù)增加，破壞性武器的數(shù)量也持續(xù)升高.軍備競賽的力度加大，一國軍備力量加大后，另一國也會隨之加大. 這種不穩(wěn)定的狀態(tài)下，極有可能迅速爆發(fā)戰(zhàn)爭.</p><p><b>　　結(jié)論</b></p>

107、<p>　　差分方程是數(shù)學(xué)中重要的一部分，因為能夠用離散變量的逼近和近似來表示連續(xù)變量，所以許多模型就可以類似于差分方程模型來解決.所以差分方法既可以在建立離散的數(shù)學(xué)模型過程應(yīng)用，也可以在連續(xù)模型化為離散模型的數(shù)值計算中廣泛的應(yīng)用.一般來說，只要涉及到有關(guān)變量的規(guī)律、本質(zhì)，就可以適當(dāng)?shù)赜貌罘址匠棠Ｐ蛠肀磉_(dá)與分析求解.</p><p>　　本文中的五個模型在實際問題中應(yīng)用十分廣泛，對于問題的解決更加方

108、便快捷.金融問題是與生活是密切相關(guān)的，通過貸款模型可以算出實際貸款時每月所應(yīng)支付的金額，清楚總夠支付了多少利息；養(yǎng)老保險模型能夠知道方案是否劃算.減肥是現(xiàn)代女性最為關(guān)注的問題，減肥模型給出了健康的減肥計劃和維持的方案.在市場中價格與產(chǎn)量是有著密不可分的關(guān)系，蛛網(wǎng)模型清晰的反映了二者之間的關(guān)系，給出了經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定的條件，并討論了在不穩(wěn)定時的調(diào)整對策，在市場經(jīng)濟(jì)中十分受用.我國作為人口大國，對人口的研究是至關(guān)重要的，本文中探究了一些因素對人

109、口數(shù)量的影響.每個國家的軍備競賽是必不可少的，本文給出了與軍備力量相關(guān)的因素以及計算方式.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分第二版[M].北京：高等教育與出版社，2014:406-410.</p><p>　　[2]楊德平.趙維加.管殿柱等.MATLAB基礎(chǔ)教程[M].北京：機(jī)械工業(yè)

110、出版社，2013：193-196.</p><p>　　[3]姜啟源.數(shù)學(xué)建模第四版[M].北京：高等教育與出版社，2011:5-26.</p><p>　　[4]顏士新.高等數(shù)學(xué)在住房貸款中的應(yīng)用[N].欽州學(xué)院學(xué)報，2007,6:21-25.</p><p>　　{5]賀曉東.差分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].中國科技博覽，2012,37:100—101.<

111、;/p><p>　　[6]張瑞.張新洋.商業(yè)養(yǎng)老保險的精算模型[N].鄭州大學(xué)學(xué)報，2006,4:117-120.</p><p>　　[7]項海飛.分階段減肥的數(shù)學(xué)模型[J].內(nèi)江科技，2007,5:54-55.</p><p>　　[8]白彥峰.葉菲.基于蛛網(wǎng)模型的我國小宗農(nóng)產(chǎn)品價格調(diào)控研究[J].創(chuàng)新，2011,3:41-46.</p><p&

112、gt;　　[9]張婧.數(shù)學(xué)建模的幾種常用方法[N].太原大學(xué)教育學(xué)院報，2012，3:38-40.</p><p>　　[10]姜輝.我國人口預(yù)測分析[J].科技管理研究，2005，11:142—145</p><p>　　[11]徐新榮.差分方程數(shù)學(xué)建模分析[J].中國科技信息，2012,14:46-46.</p><p>　　[12}張功盛.康光清.差分方程在數(shù)

113、學(xué)建模中的幾個應(yīng)用實例[N].江西電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2009,1:75-77.</p><p>　　[13]D.D.Mooney,R.J.Swift.A course in Mathenamatical Modeling.The Mathematical </p><p>　　Acssociation of America,200

114、6.</p><p>　　[14]S.Chatterjee,A.S.Hadi,B.Price.Regression Analysis By Example(third edition). </p><p>　　John Wiley & Sons,2000.</p><p>　　[15]Chiarell,C.The Cobweb Model:

115、Its Instability and The Onset of Chaos.Economic </p><p>　　Modelling,1988(8:377-384).</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　今年六月份的到來代表著我的**時光就要結(jié)束了.在這四年里我哭過笑過瘋狂過，揮灑著青春，洋溢著朝氣，學(xué)習(xí)了知識

116、，收獲了友誼，遇到了良師.在這即將分別的時刻我不想去感傷只想去感恩，感恩大學(xué)校園的一切美好的人與物，教師孜孜不倦的教誨、同窗、朋友的關(guān)懷與關(guān)心.</p><p>　　這篇論文是在**老師孜孜不倦的教誨中寫完的，使我在知識的海洋中汲取了更多的營養(yǎng)，從而讓我更加深刻了解了數(shù)學(xué).從選題、搜集資料、制定綱領(lǐng)、中期預(yù)備、確定初稿到定稿的每一個細(xì)節(jié)，**老師都給了我很多意見與建議，常常幫我疏通思路，解答不懂的問題，主動關(guān)心我