利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立中的參數(shù)問題--學(xué)案

1、第1頁共10頁利用利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立中的參數(shù)數(shù)解決不等式恒成立中的參數(shù)問題問題一、一、單參數(shù)放在不等式上型：參數(shù)放在不等式上型：【例題1】（07全國Ⅰ理）設(shè)函數(shù)若對所有都有，求的取值范圍()xxfxee???0x?()fxax?a解：令，則，()()gxfxax??()()xxgxfxaeea????????（1）若，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，2a?0x?()20xxgxeeaa????????()gx(0)??∴時(shí)，，即0x?()

2、(0)gxg?()fxax?（2）若，方程的正根為，2a?()0gx??214ln2aax???此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)1(0)xx?()0gx??()gx∴時(shí)，，即，與題設(shè)相矛盾1(0)xx?()(0)0gxg??()fxax?()fxax?綜上，滿足條件的的取值范圍是a(2]??說明：上述方法是不等式放縮法【針對練習(xí)1】（10課標(biāo)理）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍2()1xfxexax????0x?()0fx?a解：【例題2】

3、（07全國Ⅰ文）設(shè)函數(shù)在及時(shí)取得極值32()2338fxxaxbxc????1x?2x?（1）求、的值；（2）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍ab[03]x?2()fxc?c解：（1），2()663fxxaxb????∵函數(shù)在及取得極值，則有，()fx1x?2x?(1)0f??(2)0f??即，解得，6630241230abab?????????3a??4b?（2）由（1）可知，，32()29128fxxxxc????2()6181

4、26(1)(2)fxxxxx???????當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(01)x?()0fx??(12)x?()0fx??(23)x?()0fx??∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，又，1x?()fx(1)58fc??(0)8fc?(3)98fc??則當(dāng)時(shí)，的最大值為[03]x?()fx(3)98fc??∵對于任意的，有恒成立，∴，解得或，[03]x?2()fxc?298cc??1c??9c?因此的取值范圍為c(1)(9)??????最值法總結(jié)：區(qū)間給定情

5、況下，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值【針對練習(xí)2】（07重慶理）已知函數(shù)在處取得極值，其中44()ln(0)fxaxxbxcx????1x?3c??、、為常數(shù)abc（1）試確定、的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；ab()fx（3）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍0x?2()2fxc??c第3頁共10頁【例題3】（08湖南理）已知函數(shù)22()ln(1)1xfxxx????（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；()fx（2）若不等式對任意的都成立（其中

6、是自然對數(shù)的底數(shù)），求的最大值1(1)naen???nN??ea解：（1）函數(shù)的定義域是，()fx(1)???22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)xxxxxxxfxxxx?????????????設(shè)2()2(1)ln(1)2gxxxxx?????則，令，則()2ln(1)2gxxx????()2ln(1)2hxxx???22()211xhxxx???????當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，10x???()0hx??()hx

7、(10)?當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)∴在處取得極大值，0x?()0hx??()hx(0)??()hx0x?而，∴，函數(shù)在上為減函數(shù)(0)0h?()0(0)gxx???()gx(1)???于是當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，10x???()(0)0gxg??0x?()(0)0gxg??∴當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)10x???()0fx??()fx(10)?當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)0x?()0fx??()fx(0)??故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為()fx(10)?(

8、0)??（2）不等式等價(jià)于不等式，由知，1(1)naen???1()ln(1)1nan???111n??設(shè)，，則11ln(1)ann???11()ln(1)Gxxx???(01]x?22222211(1)ln(1)()(1)ln(1)(1)ln(1)xxxGxxxxxxx????????????由（1）知，，即22ln(1)01xxx????22(1)ln(1)0xxx????∴，，于是在上為減函數(shù)()0Gx??(01]x?()Gx(0