數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧

1、用心愛心專心115號(hào)編輯1利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧趣題引入趣題引入已知函數(shù)設(shè)，xxxgln)(?ba??0證明：2ln)()2(2)()(0abbabgag??????分析：主要考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的能力。證明：，設(shè)1ln)(???xxg)2(2)()()(xagxgagxF????2lnln)2()(21)2(2)()(xaxxagxgxagxgxF???????????當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)

2、，ax??00)(??xFax?0)(??xF即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù))(xF)0(ax?)(???ax∴，又∴，0)()(min??aFxFab?0)()(??aFbF即0)2(2)()(????bagbgag設(shè)2ln)()2(2)()()(axxagxgagxG??????)ln(ln2ln2lnln)(xaxxaxxG?????????當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上為減函數(shù)；0?x0)(?xG)(xG)0(??因?yàn)?，又∴?)(?aGa

3、b?0)()(??aGbG即02ln)()2(2)()(??????axxagxgag故2ln)()2(2)()(axxagxgag?????綜上可知，當(dāng)時(shí)，ba??02ln)()2(2)()(0abbabgag??????本題在設(shè)輔助函數(shù)時(shí)，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，因此，設(shè)輔助函數(shù)時(shí)就把其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為自變量，范例中選用右端點(diǎn)，讀者不妨設(shè)為左端點(diǎn)試一試，就能體會(huì)到其中的奧妙了。技巧精髓技巧精髓一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

4、性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。二、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)用心愛心專心115號(hào)編輯3即，只需證明在區(qū)間上，恒有成立，3232ln21xxx??)1(??3232ln21xxx??設(shè)，，考慮到)()()(xfxgxF??)1(???x061)1(??F要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋寒?dāng)時(shí)，，這

5、只要證明：在區(qū)間1?x)1()(FxF?)(xg是增函數(shù)即可。)1(??【綠色通道綠色通道】設(shè)，即，)()()(xfxgxF??xxxxFln2132)(23???則=當(dāng)時(shí)，=xxxxF12)(2????xxxx)12)(1(2???1?x)(xF?從而在上為增函數(shù)，∴xxxx)12)(1(2???)(xF)1(??061)1()(???FxF∴當(dāng)時(shí)，即，故在區(qū)間上，函數(shù)1?x0)()(??xfxg)()(xgxf?)1(??的圖象在函

6、數(shù)的圖象的下方。)(xf332)(xxg?【警示啟迪警示啟迪】本題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設(shè))()()(xgxfxF??做一做，深刻體會(huì)其中的思想方法。3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明【例3】證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式都成立.3211)11ln(nnn???分析：分析：本題是山東卷

7、的第（II）問，從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令，則問xn?1題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，恒有成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)0?x32)1ln(xxx???，求導(dǎo)即可達(dá)到證明。)1ln()(23????xxxxh【綠色通道綠色通道】令，則)1ln()(23????xxxxh在上恒正，所以函數(shù)1)1(31123)(232?????????xxxxxxxh)0(???x在上單調(diào)遞增，∴時(shí)，恒有即)(xh)0(??)0(???x，0)0()(??hxh，∴0)1ln(23???