偏微分方程 partial diffierential equation …

1、偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E),浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,2,參考書目,《數(shù)學(xué)物理方法》,《數(shù)學(xué)物理方程》，姜禮尚， 高教出版社。,《工程技術(shù)中的偏微分方程》， 潘祖梁，浙江大學(xué)出版社。,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,3,一. 偏微分方程的基本概念,自變量,未知函數(shù),偏微分方程的一般形式,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,4

2、,PDE的階,PDE的解,,古典解,廣義解,一些概念,是指這樣一個(gè)函數(shù)，它本身以及它的偏導(dǎo)數(shù)在所考慮的區(qū)域上連續(xù)，同時(shí)用滿足方程。,,線性PDE,非線性PDE,,,半線性PDE,擬線性PDE,完全非線性PDE,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,5,線性PDE：,PDE中對(duì)最高階導(dǎo)數(shù)是線性的。,線性PDE中所有具同一最高階數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)組成的部分，稱為線性方程的主部。,半線性PDE：,擬線性PDE：,擬線性PDE中，最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)僅為自變量的函數(shù)。,PDE中

3、對(duì)所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的全體都是線性的。,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,6,舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）,1.,2.,變換,解為：,解為：,,,,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,7,舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）,4.,3.,解為：,變換,,解為：,,,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,8,5.,不易找出其通解，但還是可以找出一些特解,任意解析函數(shù) 的實(shí)部和虛部均滿足方程。,也是解,6.,特解都不易找到,KDV方程,舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）,`,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,9,7

4、.,擬線性PDE,8.,擬線性PDE,9.,半線性PDE,10.,半線性PDE,11.,非線性PDE,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,10,舉例(多元函數(shù)),拉普拉斯(Laplace)方程,熱傳導(dǎo)方程,波動(dòng)方程,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,11,二. 定解問(wèn)題的適定性,,定解問(wèn)題,PDE,定解條件,,初值條件,邊值條件,初、邊值條件,,初值問(wèn)題、邊值問(wèn)題、混合問(wèn)題,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,12,經(jīng)典的定解問(wèn)題舉例,波動(dòng)方程的初值問(wèn)題（一維）,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,13,經(jīng)典的定

5、解問(wèn)題舉例,熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題（一維）,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,14,經(jīng)典的定解問(wèn)題舉例,二維調(diào)和方程的邊值問(wèn)題,,,,第一邊值問(wèn)題（Dirichlet）,第二邊值問(wèn)題（Neumann）,第三邊值問(wèn)題（Robin）,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,15,經(jīng)典的定解問(wèn)題舉例,熱傳導(dǎo)方程的初、邊值問(wèn)題,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,16,何為適定性？,存在性唯一性連續(xù)依賴性（穩(wěn)定性）,,適定性,若PDE在附加條件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函數(shù)類中存在、唯一

6、而且關(guān)于附加條件為穩(wěn)定的，就稱定解問(wèn)題在相應(yīng)的函數(shù)類中為適定的。,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,17,三. 物理模型與定解問(wèn)題的導(dǎo)出,波動(dòng)方程的導(dǎo)出,熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,18,弦振動(dòng)方程與定解問(wèn)題,一長(zhǎng)為L(zhǎng)的柔軟均勻細(xì)弦，拉緊后，當(dāng)它受到與平衡位置垂直的外力作用時(shí)，開始作微小橫振動(dòng)。 假設(shè)這運(yùn)動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)且與方向垂直于平衡位置，求弦上各點(diǎn)位移隨時(shí)間變化規(guī)律。,弦上各點(diǎn)作往返運(yùn)動(dòng)的主要原因在于弦的張力作用，弦在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各點(diǎn)的位移、

7、加速度和張力都在不斷變化，但它們遵循物理的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由此可以建立弦上各點(diǎn)的位移函數(shù)所滿足的微分方程。,,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,19,取弦的平衡位置為OX軸，運(yùn)動(dòng)平面為XOU,,,,O,U,X,P,Q,L,在時(shí)刻 t ，弦線在 x 點(diǎn)的位移為 u(x, t),,,,,,,O,U,X,P,Q,,,,,,,,,,,,,此為上圖中PQ的放大圖示,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,20,假設(shè)弦線是均勻的，弦作微小振動(dòng)，故可認(rèn)為,即表明弧段PQ在振動(dòng)過(guò)程中長(zhǎng)度近似不變。因

8、此根據(jù)Hooke定律，弦上各點(diǎn)的張力 T 的大小與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)。再由于弦是柔軟的，弦上各點(diǎn)的張力 T 的方向正是弦的切線方向。,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,21,根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，,,,(*1),(*2),浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,22,(*1),,這表明張力的大小與 x 也無(wú)關(guān)，即,常數(shù),(*2),,，微分中值定理,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,23,令,，可得微分方程方程,弦是均勻的，故 為常數(shù)，記,方程改寫為,刻劃了均勻弦的微小橫振動(dòng)的一般規(guī)律

9、。通常稱為弦振動(dòng)方程。,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,24,為了具體給出弦的振動(dòng)規(guī)律，除了列出它所滿足的方程外，由于弦開始時(shí)的形狀和弦上各點(diǎn)的速度，對(duì)弦振動(dòng)將有直接影響，由此必須列出初始條件,或者邊界條件,,已知端點(diǎn)的位移,已知在端點(diǎn)受到垂直于弦的外力的作用,已知端點(diǎn)的位移與所受外力作用的一個(gè)線性組合,,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,25,四. 二階線性方程的分類,兩個(gè)自變量情形,,主部,目的：,通過(guò)自變量的非奇異變換來(lái)簡(jiǎn)化方程的主部，從而據(jù)此分類。,非奇異,,（

10、1）,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,26,復(fù)合求導(dǎo),,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,27,,系數(shù)之間的關(guān)系,,（2）,（1）,（3）,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,28,考慮,如若能找到兩個(gè)相互獨(dú)立的解,那么就作變換,從而有,（4）,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,29,兩個(gè)引理,引理1.,假設(shè),是方程,的特解，則關(guān)系式,是常微分方程,（4）,（5）,的一般積分。,引理2.,假設(shè),,是常微分方程（5）的一般,積分，則函數(shù),是（4）的特解。,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,30,由此可知，要求方程（4）的解，只

11、須求出常微分方程（5）的一般積分。,定義：,常微分方程（5）為PDE（1）的特征方程,（5）的積分曲線為PDE（1）的特征曲線。,,,（6）,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,31,記,定義,方程(1)在點(diǎn)M處是,雙曲型：,橢圓型：,拋物型：,,若在點(diǎn)M處，有,若在點(diǎn)M處，有,若在點(diǎn)M處，有,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,32,雙曲型PDE,右端為兩相異的實(shí)函數(shù),它們的一般積分為,由此令,，方程（1）可改寫為,雙曲型方程的第一標(biāo)準(zhǔn)型,,雙曲型方程的第二標(biāo)準(zhǔn)型,,浙江大

12、學(xué)數(shù)學(xué)系,33,拋物型PDE,由此得到一般積分為,由此令,，其中,與,獨(dú)立的任意函數(shù)。,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,34,由于,,由此推出,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,35,因此，方程（1）可改寫為,拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)型,而,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,36,橢圓型PDE,右端為兩相異的復(fù)數(shù),由此推出兩族復(fù)數(shù)積分曲線為,其中,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,37,由此令,從而方程（1）可改寫為,， 滿足方程（4）,,,橢圓型方程的標(biāo)準(zhǔn)型,浙江大學(xué)數(shù)學(xué)