51 微分方程的基本概念

1、,,,,,,5.1 微分方程的定義（32）,3,解,5.1.1 微分方程的定義,1、問題的提出,5.1 微分方程的定義（32）,4,解,5.1 微分方程的定義（32）,5,代入條件后知,故,開始制動到列車完全停住共需,5.1 微分方程的定義（32）,6,微分方程: 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.,例,實(shí)質(zhì): 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.,2、微分方程的定義,5.1 微分方程

2、的定義（32）,7,微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之.,分類1: 常微分方程, 偏常微分方程.,一階微分方程,高階(n)微分方程,分類2:,5.1 微分方程的定義（32）,8,分類3: 線性與非線性微分方程.,分類4: 單個微分方程與微分方程組.,5.1 微分方程的定義（32）,9,微分方程的解: 使微分方程成為恒等式的函數(shù).,微分方程的解的分類：,5.1.2 微分方程的解,(1)通解: 微分方程的

3、解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.,5.1 微分方程的定義（32）,10,5.1 微分方程的定義（32）,11,其中,5.1 微分方程的定義（32）,12,解,由于,5.1 微分方程的定義（32）,13,5.1 微分方程的定義（32）,14,(2)特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解.,解的圖象: 微分方程的積分曲線.,通解的圖象: 積分曲線族.,初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.,過定點(diǎn)的積分

4、曲線;,一階:,初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.,5.1 微分方程的定義（32）,15,二階:,過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.,補(bǔ)充:,微分方程的初等解法: 初等積分法.,求解微分方程,,求積分,(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來),5.1 微分方程的定義（32）,16,解,5.1 微分方程的定義（32）,17,所求特解為,5.1 微分方程的定義（32）,18,5.1.3 建立微分方程,例 5,有高為

5、1米的半球形容器, 水從它的底部小孔流出, 小孔橫截面積為1平方厘米(如圖). 開始時容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.,解,由力學(xué)知識得,水從孔口流出的流量為,5.1 微分方程的定義（32）,19,,設(shè)在微小的時間間隔,水面的高度由h降至 ,,5.1 微分方程的定義（32）,20,比較(1)和(2)得:,即為未知函數(shù)的微分方程，化簡得,5.

6、1 微分方程的定義（32）,21,例 6,解,如圖建立坐標(biāo)系， 設(shè),5.1 微分方程的定義（32）,22,5.1 微分方程的定義（32）,23,5.1 微分方程的定義（32）,24,于是，帶初始條件的微分方程為,（懸鏈線方程）,5.1 微分方程的定義（32）,25,解,5.1 微分方程的定義（32）,26,5.1 微分方程的定義（32）,27,串聯(lián)電路的振蕩方程,5.1 微分方程的定義（32）,28,解,受力分析,5.1

7、 微分方程的定義（32）,29,自由振動微分方程,強(qiáng)迫振動微分方程,5.1 微分方程的定義（32）,30,微分方程;,微分方程的階;,微分方程的解;,通解;,初始條件;,特解;,初值問題;,積分曲線.,5.1.4 小結(jié)與思考題,5.1 微分方程的定義（32）,31,思考題,5.1 微分方程的定義（32）,32,思考題解答,中不含任意常數(shù),,故為微分方程的特解.,5.1 微分方程的定義（32）,33,課堂練習(xí)題,5.1 微分