第一講 微分方程的基本概念

1、《高等數(shù)學(xué)》精品課程—《微積分》部分—電子教案第1頁(yè)共23頁(yè)12y=x32y=x31y=x3Oyx第八章第八章微分方程微分方程8.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念教學(xué)目的：了解微分方程的有關(guān)概念教學(xué)目的：了解微分方程的有關(guān)概念難點(diǎn)：微分方程解的分類與判定點(diǎn)：微分方程解的分類與判定重點(diǎn)：常微分方程、通解與特解、初始條件與初值問題點(diǎn)：常微分方程、通解與特解、初始條件與初值問題我們先通過具體的例子來(lái)說明微分方程的有關(guān)概念例1設(shè)曲線y=f

2、(x)在其上任一點(diǎn)(x，y)的切線斜率為3x2，且曲線過點(diǎn)(0，1)，求曲線的方程解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在點(diǎn)(x，y)處，有(1)23xdxdy?此外，曲線滿足條件(2).10???xy(1)式兩邊積分，得(3).332cxdxxy????其中c為任意常數(shù)(3)式表示了無(wú)窮多個(gè)函數(shù)圖(6–1)，為得到滿足條件(2)的具體曲線，以條件(2)代入(3)，得c=1故所求曲線的方程為(4).13??xy例2質(zhì)量為m的物體自由落下t=0時(shí)初始位移和

3、初速度分別為求物體00Sv的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為S=S(t)則(5)(6)()Stg???0000||ttSSSv?????兩次積分分別得出:(7)(8)1()Stgtc???2121()2Stgtctc???條件代入:(9)1020cvcS??2001()2StgtvtS????圖6–1《高等數(shù)學(xué)》精品課程—《微積分》部分—電子教案第3頁(yè)共23頁(yè)定某個(gè)具體的特解階微分方程(14)常見的定解條件是如下形式的條件：n10)1(1000

4、)()()(??????nnyxyyxyyxy?其中為個(gè)給定的常數(shù)，通常稱這樣的定解條件為初始條1100?nyyyx?1?n件例如，方程(1)滿足初始條件(2)的特解是函數(shù)(4)，而方程(5)滿足初始條件(6)的特解是函數(shù)(9)求微分方程滿足某定解條件的解的問題，稱為微分方程的定解問題求微分方程滿足某初始條件的解的問題，稱為初值問題例3驗(yàn)證：函數(shù)是微分方程atCatCxsincos21??=0xadtxd222?(14)的通解解求出函數(shù)

5、的導(dǎo)數(shù)：atCatCxsincos21??cossin21ataCataCdtdx???.sincos222122ataCataCdtxd???將以上兩式代入方程(14)的左端，得(14)因此，函數(shù)是atCatCxsincos21??方程(14)的解，又此函數(shù)中含有兩個(gè)任意常數(shù)，而方程(14)為二階微分方程，因此，函數(shù)是方程(14)的通解atCatCxsincos21??例4驗(yàn)證：由方程所確定的隱函數(shù)是微分方程Cyxyx???22yxy