破解橢圓中最值問(wèn)題的常見(jiàn)策略

1、破解橢圓中最值問(wèn)題的常見(jiàn)策略破解橢圓中最值問(wèn)題的常見(jiàn)策略第一第一類：求離心率的最：求離心率的最值問(wèn)題值問(wèn)題破解策略之一：建立破解策略之一：建立的不等式或方程的不等式或方程cba例1：若：若為橢圓為橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，使為橢圓上一點(diǎn)，使，求此橢圓，求此橢圓BA)0(12222????babyaxQ0120??AQB離心率的最小值。離心率的最小值。分析：建立之間的關(guān)系是解決離心率最值問(wèn)題常規(guī)思路。此題也就要將角轉(zhuǎn)化

2、為邊的思想，但條件又不是與焦cba點(diǎn)有關(guān)，很難使用橢圓的定義。故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式運(yùn)用橢圓中的取值進(jìn)行求解離心率的最值。yx解：不妨設(shè)，則，利用到角公式及得：)()0()0(yxQaBaA?axykaxykBQAQ????0120??AQB（），又點(diǎn)在橢圓上，故，消去，化簡(jiǎn)得又0120tan1???????axyaxyaxyaxyax??A22222ybaax???x2232caby?即則，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的高次不等式解得。故

3、by?bcab?223242223)(4ccaa??e044324???ee136??e橢圓離心率的最小值為。（或，得：，由，故）36222233()abcab???303ba??21()bea??136??e（注：本題若是選擇或填空可利用數(shù)形結(jié)合求最值）點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問(wèn)題關(guān)鍵是如何建立之間的關(guān)系。常用橢圓上的點(diǎn)表示成，并利用橢圓中cba)(yxcba的取值來(lái)求解范圍問(wèn)題或用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解。yx破解策略之二：利用三角函數(shù)的有界性求

4、范圍破解策略之二：利用三角函數(shù)的有界性求范圍例2：已知橢圓：已知橢圓C：兩個(gè)焦點(diǎn)為兩個(gè)焦點(diǎn)為，如果曲線，如果曲線C上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn)Q，使，使，求橢圓離，求橢圓離22221(0)xyabab????12FF12FQFQ?心率的最小值。心率的最小值。分析分析：根據(jù)條件可采用多種方法求解，如例1中所提的方法均可。本題如借用三角函數(shù)的有界性求解，也會(huì)有不錯(cuò)的效果。解：根據(jù)三角形的正弦定理及合分比定理可得：故，故橢圓離心率的最小??????c

5、ossin2cossinsinsin90sin221210???????aPFPFPFPFc22)45sin(210????e值為。22點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此法求最值問(wèn)題關(guān)鍵是掌握邊角的關(guān)系，并利用三角函數(shù)的有界性解題，真是柳暗花明又一村。第二第二類：求點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)：求點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)線）的最）的最值問(wèn)題值問(wèn)題破解策略之三：建立相關(guān)函數(shù)并求函數(shù)的最值（下面第三類、第四類最值也常用此法）破解策略之三：建立相關(guān)函數(shù)并求函數(shù)的最值（下面第三類、第四類最值也常用此法

6、）例3：（：（05年上海）點(diǎn)年上海）點(diǎn)A、B分別是橢圓分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且在橢圓上，且1203622??yx位于位于軸上方，軸上方，。（1）求點(diǎn)）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（的坐標(biāo)；（2）設(shè)）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，M到直線到直線AP的距離等于的距離等于xPFPA?，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的距離的最小值。的最小值。||MBd

7、例8：如圖，在直線如圖，在直線上任意取一點(diǎn)上任意取一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且以橢圓點(diǎn)且以橢圓的焦點(diǎn)作橢圓，問(wèn)當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)作橢圓，問(wèn)當(dāng)在09:???yxlMM131222??yxM何處時(shí)，所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，并求出最短長(zhǎng)軸為多少？何處時(shí)，所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，并求出最短長(zhǎng)軸為多少？分析：要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，當(dāng)然想到橢圓的定義?；镜慕忸}思路如下：長(zhǎng)軸最短三點(diǎn)一直線尋求對(duì)稱??對(duì)稱變換。在一系列的變化過(guò)程中巧妙的運(yùn)用對(duì)稱，使我們找到一種簡(jiǎn)明的解題方

8、法。通過(guò)此對(duì)稱性主要利用?解：橢圓的兩焦點(diǎn)分別為（－3，0）、（30），||||||1221FFNFNF??1F2F作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則直線的方程為1Fl1F11FF3???yx由方程組得的坐標(biāo)（－6，3），?????????93yxyxP由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得的坐標(biāo)（－96）所以直線的方程。1F12FF32??yx解方程組得點(diǎn)坐標(biāo)（－54）。由于，????????932yxyxM56218021???aFF點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問(wèn)題是將所求的