數(shù)學(xué)史概論-數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

1、感言 一件遺憾的事兒：幾乎所有的大學(xué)生不知道非歐幾何，甚至數(shù)學(xué)類專業(yè)的本科生（包括部分大學(xué)數(shù)學(xué)教師）也是如此。 今天我們?cè)噲D來(lái)彌補(bǔ)這個(gè)遺憾，來(lái)了解影響和改變世界的非歐幾何。,第十章 痛苦的分娩——幾何學(xué)的革命,一、關(guān)于第五公設(shè)的思考,二、非歐幾何的誕生,2.黎曼對(duì)非歐幾何的貢獻(xiàn),三、非歐幾何產(chǎn)生的意義,1.高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的突破性工作,3.幾何學(xué)的劃分,4.非歐幾何的模型,5.非歐幾何的相容性

2、,6.平行公理的獨(dú)立性問(wèn)題,公元前300年產(chǎn)生了歐氏幾何，至今每個(gè)學(xué)生在初中都要學(xué)習(xí)它，它的影響遍及世界各國(guó)。兩千多年來(lái)，人們一直認(rèn)為歐幾里得幾何空間是反映現(xiàn)實(shí)世界唯一正確的幾何空間。直到18世紀(jì)，歐氏幾何仍一統(tǒng)天下。到了19世紀(jì)20年代，非歐幾何的誕生使人們從這一思想中解放了出來(lái)。在數(shù)學(xué)史上，很少有一個(gè)分支能像非歐幾何那樣對(duì)人類的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生如此深刻的影響。人們常把非歐幾何引起的思想變革比作哥白尼的革命。德國(guó)偉大數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)：“19世

3、紀(jì)最有啟發(fā)性、最重要的數(shù)學(xué)成就是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)?！?非歐幾何產(chǎn)生的最早根源在于人們對(duì)歐幾里得第五公設(shè)的研究。,關(guān)于第五公設(shè)的思考,1,五條公設(shè),公設(shè)1. 一點(diǎn)到另外一點(diǎn)作直線是可能的；,,,,五條公設(shè),公設(shè)2. 有限直線不斷沿直線延長(zhǎng)是可能的；,,,,五條公設(shè),公設(shè)3. 以任一點(diǎn)為中心和任一距離為半徑作一圓是可能的；,,,,,,五條公設(shè),公設(shè)4. 所有直角彼此相等；,,,B,A,C,D,五條公設(shè),公設(shè)5. 如果一直線與兩直線相交

4、，且同側(cè)所交兩內(nèi)角之和 小于兩直角，則兩直線無(wú)限延長(zhǎng)后必相交于該側(cè)的一點(diǎn)。,,,,,a,b,a + b < 180?,,?1,?2,,,?,,第五條公設(shè)等價(jià)于平行公理：過(guò)直線外一點(diǎn)可以作唯一一條直線與之平行。,,,,《幾何原本》問(wèn)世后，第五公設(shè)引起了數(shù)學(xué)家們的極大關(guān)注。人們認(rèn)為作為其基石的五個(gè)公理以及五個(gè)公設(shè)中的前4個(gè)公設(shè)簡(jiǎn)單明了，符合亞里士多德關(guān)于公理自明性的要求，而唯獨(dú)第五公設(shè)即所謂的平行公理卻顯得陳述復(fù)雜且不夠自明，

5、很像一條定理。似乎連歐幾里得本人對(duì)這一公設(shè)也不太滿意。這是因?yàn)?，《幾何原本》第一卷中?8個(gè)命題，其中前28個(gè)命題的證明，歐幾里得都回避了第五公設(shè)，只有在第29個(gè)命題的證明中才不得不應(yīng)用了一次，并且這也是整個(gè)《幾何原本》唯一的一次應(yīng)用第五公設(shè)。,所以自歐幾里得以來(lái)，人們總懷疑這一公設(shè)本身就是一個(gè)定理，只不過(guò)歐幾里得本人無(wú)法證明它才把它當(dāng)作公設(shè)罷了。對(duì)于這部千古不朽的巨著這真是白壁之瑕。因此，許多人想盡力洗刷掉這唯一的“污點(diǎn)”。

6、 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題有三種解決途徑： 1.試圖通過(guò)給出平行線定義以避開(kāi)這個(gè)困難； 2.試圖用比平行公理缺點(diǎn)更少的其它公理代替它； 3.用其它9個(gè)公理或公設(shè)去證明它！,在進(jìn)行第二項(xiàng)工作的研究中，人們發(fā)現(xiàn)了許多與第五公設(shè)等價(jià)的命題，證明其一便相當(dāng)于證明了第五公設(shè)。比如： 平行公理：過(guò)直線外一點(diǎn)可以作唯一一條直線與之平行； 三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于180度。,第三項(xiàng)問(wèn)題得到的研究最多，人們?yōu)榇伺α藘汕?/p>

7、多年，花費(fèi)了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家的心血，但終究沒(méi)有成功。 雖然此后無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)家都曾試圖利用其它公設(shè)和公理來(lái)證明第五公設(shè)，但不是論證上有錯(cuò)誤就是證明過(guò)程中利用了第五公設(shè)的等價(jià)命題。,歷史上第一個(gè)給出第五公設(shè)證明的是公元2世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家托勒密。但他的證明依賴了一個(gè)假定：過(guò)已知直線外一點(diǎn)可且僅可作一條直線與已知直線平行。這實(shí)際上是和第五公設(shè)等價(jià)的一個(gè)命題。所以托勒密沒(méi)有由其它公設(shè)證明第五公設(shè)。后來(lái)，由于蘇格蘭數(shù)學(xué)家普萊菲爾首先有意識(shí)

8、地用它來(lái)代替第五公設(shè)，故該命題稱為“普萊菲爾公設(shè)”。這個(gè)公設(shè)代替第五公設(shè)廣泛地出現(xiàn)在18世紀(jì)的歐氏幾何的教科書(shū)中，所以使人們誤解第五公設(shè)的原文就是平行公設(shè)。,除此之外，中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家納西爾丁試圖通過(guò)證明等價(jià)命題：三角形內(nèi)角和為兩直角。1741年克萊羅試圖證明等價(jià)命題“如果四邊形的三個(gè)角是直角，則第四個(gè)角也是直角?！?833年勒讓德試圖證明等價(jià)命題“過(guò)不共線的三點(diǎn)可作一圓?！钡紱](méi)有成功。 這些試圖直接證明第五公設(shè)的做法均告失

9、敗。這樣，人們就開(kāi)始逐漸地把注意力轉(zhuǎn)移到間接證法上來(lái)。即假設(shè)平行公理不成立，力圖導(dǎo)出一個(gè)矛盾，這樣就等于用反證法由其它公設(shè)和已知事實(shí)證明了平行公理。人們?cè)谶@個(gè)假定下試圖找出矛盾，但總未真正找出矛盾。直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才逐漸認(rèn)識(shí)到：第五公設(shè)確實(shí)獨(dú)立于其它公設(shè)。如果將第五公設(shè)替換成相反的某種假設(shè)，可以建立與歐氏幾何不同的幾何體系。,非歐幾何的誕生,2,19世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（Gauss, C. F., 1777--1855）、俄羅斯數(shù)

10、學(xué)家羅巴切夫斯基（Ποбаyeвский Н. И.，1793---1856）和德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼（G. B. Riemann,1826--1866）等人，在用反證法研究第三項(xiàng)問(wèn)題時(shí)，試圖推出矛盾，但卻沒(méi)有。即，假設(shè)第五公設(shè)不成立，結(jié)果并不會(huì)出現(xiàn)矛盾！ 于是他們頓悟：推翻第五公設(shè)！從而導(dǎo)致了非歐幾何的產(chǎn)生。,高斯被譽(yù)為“非歐幾何的先驅(qū)”;羅巴切夫斯基被冠以“幾何學(xué)上的哥白尼”;黎曼是一個(gè)極富天分的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家，在他短暫的一生中，他

11、在許多領(lǐng)域?qū)懗隽嗽S多有名論文，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，影響了19世紀(jì)后半期數(shù)學(xué)發(fā)展，黎曼幾何僅是他的成就之一。,1、高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的突破性工作 高斯早在15歲時(shí)，就開(kāi)始思考第五公設(shè)。36歲時(shí)，他具有了非歐幾何的基本思想，確信存在著不同于歐氏幾何的另一種幾何學(xué)。盡管高斯對(duì)幾何學(xué)的本質(zhì)問(wèn)題有著深刻的理解，但他一直沒(méi)有發(fā)表過(guò)這一思想。原因有兩方面： ①膽怯。 高斯認(rèn)為，這種新思想沖擊了歐氏幾何2000多

12、年的權(quán)威，與人們的常識(shí)相悖，必然要遭到世人的攻擊和嘲笑。高斯深知傳統(tǒng)思想的頑固，所以在世人偏見(jiàn)造成的壓力下退卻了。所以讓人感到遺憾的是，這位被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯，在有生之年沒(méi)有能給非歐幾何的發(fā)展以根本的推動(dòng)。 ②過(guò)于謹(jǐn)慎。 這是高斯從事數(shù)學(xué)研究的工作態(tài)度。他只有在證明的嚴(yán)密性和文字?jǐn)⑹龅暮?jiǎn)明性方面都達(dá)到無(wú)懈可擊時(shí)才肯發(fā)表。,德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（Gauss, C. F., 1777--1855）是最早認(rèn)識(shí)到可以否定第五公

13、設(shè)的人。,1792年開(kāi)始思考第五公設(shè)問(wèn)題。1794年，發(fā)現(xiàn)非歐幾何的一個(gè)事實(shí)。1799年起，著手建立這一新幾何。1824年，高斯又在給朋友的信中寫(xiě)到：,……三角形內(nèi)角和小于180度，這一假設(shè)引出一種特殊的、和我們的幾何完全不相同的幾何。這種幾何自身是完全相容的，當(dāng)我發(fā)展它的時(shí)候，結(jié)果完全令人滿意?！?這一假設(shè)相當(dāng)于把平行公理改換為：,過(guò)直線外一點(diǎn)可以做多條直線與之平行,羅巴切夫斯基，出生在俄國(guó)喀山一個(gè)貧窮的公務(wù)員家庭。15歲進(jìn)入

14、喀山大學(xué)學(xué)習(xí)，由于在數(shù)學(xué)上取得優(yōu)異成績(jī)受到教授們的贊賞。所以教授們堅(jiān)決主張?jiān)诹_巴切夫斯基大學(xué)畢業(yè)后授予他碩士學(xué)位并留校工作。24歲，羅巴切夫斯基成為該校副教授，30歲晉升為教授，后任喀山大學(xué)校長(zhǎng)。 1893年，在喀山大學(xué)樹(shù)立起了世界上第一個(gè)為數(shù)學(xué)家雕塑的塑像。這位數(shù)學(xué)家就是俄國(guó)的偉大學(xué)者、非歐幾何的重要?jiǎng)?chuàng)始人——羅巴切夫期基。,與高斯的保守和膽怯相比，羅巴切夫斯基則是一個(gè)為確立和發(fā)展非歐幾何始終不渝的戰(zhàn)士。,羅巴切夫斯基從1815年開(kāi)始

15、研究平行公理問(wèn)題，起初也和大多數(shù)人一樣，相信平行公理是可以證明的。1823年他開(kāi)始試圖用反證法來(lái)證明。他從平行公理的否命題出發(fā)，同時(shí)保留了歐氏幾何的其它公理，按照嚴(yán)格的邏輯推理進(jìn)行推導(dǎo)，然而矛盾卻沒(méi)有出現(xiàn)，反而得到了一系列重要的結(jié)果。羅巴切夫斯基果斷地放棄了關(guān)于歐氏幾何是描述物質(zhì)空間唯一絕對(duì)的幾何學(xué)的傳統(tǒng)觀念，大膽提出：由平行公理的否命題出發(fā)而得到的結(jié)果代表著一種新的幾何學(xué)，盡管這種幾何學(xué)中的許多結(jié)論是令人驚異和不可思議的，但它本身卻是

16、無(wú)矛盾的，它可以和歐氏幾何一樣成立。,學(xué)術(shù)報(bào)告時(shí)間：1826年2月23日，地點(diǎn)：喀山大學(xué)數(shù)學(xué)物理系人物：羅巴切夫斯基題目：《關(guān)于幾何原理的扼要敘述及平行線定理的一個(gè)嚴(yán) 格證明》,1826年2月23日這一天，被后人確定為非歐幾何的誕生日，從而宣告歐氏幾何一統(tǒng)天下的局面不復(fù)存在。這篇論文不僅標(biāo)志著非歐幾何的誕生，引起了幾何學(xué)的革命，而且也標(biāo)志著近代數(shù)學(xué)時(shí)期的開(kāi)始。,在這篇論文中，羅巴切夫斯基首先引用了與第五公設(shè)相反的斷言：過(guò)不在直

17、線上的一點(diǎn)可至少引兩條直線與已知直線平行。同時(shí)，保留了歐氏幾何中除第五公設(shè)之外的其它公設(shè)，構(gòu)造了一個(gè)邏輯體系。他發(fā)現(xiàn)這個(gè)體系沒(méi)有邏輯矛盾，但又與歐氏幾何不同，他認(rèn)為這是一種新的幾何學(xué)。這是2000多年來(lái)思維過(guò)程形成的慣性下出現(xiàn)的一次重大突破。,過(guò)直線外一點(diǎn)可以作兩條直線與之不相交,羅巴切夫斯基的幾何,由這一幾何體系，可以得到兩個(gè)結(jié)論： 1.第五公設(shè)與其它公設(shè)在邏輯上是不相關(guān)的，即它不能由其它公設(shè)推出； 2.除去使這一公設(shè)

18、成立的歐氏幾何外，還有使這一公設(shè)不成立的幾何學(xué)。 在羅氏幾何中，出現(xiàn)了許多在歐氏幾何看來(lái)純屬異端邪說(shuō)的結(jié)論。如 1.過(guò)直線外一點(diǎn)可引無(wú)數(shù)條平行線平行于已知直線； 2.三角形的內(nèi)角和小于兩直角； 3.不同大小的三角形永遠(yuǎn)不能相似。,1829年，在《喀山通報(bào)》上，羅巴切夫斯基以《幾何學(xué)原理》為題正式發(fā)表了他的研究成果，這是世界上第一部公開(kāi)出版的非歐幾何的文獻(xiàn)。這一新思想是20世紀(jì)相對(duì)論產(chǎn)生的前奏和準(zhǔn)備。

19、后來(lái)的歷史證明非歐幾何導(dǎo)致的思想解放對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和科學(xué)有重要的意義。因?yàn)槿绻麤](méi)有這一進(jìn)步，人類就不可能突破感觀的局限而深入到自然更深刻的本質(zhì)中去。 和所有的先知先覺(jué)者一樣，羅得到的是冷遇和嘲諷。他的新學(xué)說(shuō)沒(méi)有得到承認(rèn)。1834年，有人在《祖國(guó)之子》雜志上寫(xiě)文章譏諷說(shuō)：“為什么不把黑的想象成白的，把圓的想象成方的，把三角形內(nèi)角和想象成小于兩直角，把同一個(gè)定積分值想象成既等于 又等于 呢？非?？赡?，盡管理智是不可能理解這些

20、的?！薄盀槭裁床话褬?biāo)題《幾何學(xué)原理》寫(xiě)成《對(duì)幾何學(xué)的諷刺》或《幾何學(xué)漫畫(huà)》呢？”德國(guó)著名詩(shī)人歌德甚至寫(xiě)了一首詩(shī)來(lái)嘲笑非歐幾何：“有幾何兮，名為非歐，自己嘲笑，莫名其妙?！钡_卻一直執(zhí)著地研究非歐幾何。,1837年羅寫(xiě)成《虛幾何學(xué)》，1840年寫(xiě)出《平行線理論的幾何研究》。直至他去世前，雖然身患重病，雙目失明，但仍口述完成《泛幾何學(xué)》。遺憾的是，在羅發(fā)現(xiàn)非歐幾何之后的30年中沒(méi)能看到對(duì)這種幾何學(xué)的確認(rèn)。直到他去世12年之后，意大利數(shù)學(xué)家貝

21、爾特拉米發(fā)表了《非歐幾何解釋的嘗試》，給出了非歐幾何在歐氏空間上的模型，這才從理論上消除了人們對(duì)非歐幾何無(wú)矛盾性的懷疑。非歐幾何獲得學(xué)術(shù)界的一致承認(rèn)和贊美。羅被譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。,幾何名稱：虛幾何學(xué)想象幾何學(xué)泛幾何學(xué)羅巴切夫斯基幾何。,在與羅幾乎同時(shí)，1823年，匈牙利的J.波爾約也獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了非歐幾何。他的父親W.波爾約也曾經(jīng)研究過(guò)第五公設(shè)，但沒(méi)有成果，認(rèn)為研究這一問(wèn)題純粹是浪費(fèi)時(shí)間。所以當(dāng)他的兒子決心研究這個(gè)問(wèn)題時(shí)，老

22、波爾約就忠告他：這是一個(gè)可以吞掉幾個(gè)牛頓式人物而毫無(wú)前途的問(wèn)題，但小波爾約卻偏向虎山行，并于21歲時(shí)有了新發(fā)現(xiàn)。當(dāng)年，小波爾約的論文《關(guān)于一個(gè)與歐幾里得平行公設(shè)無(wú)關(guān)的空間的絕對(duì)真實(shí)性的學(xué)說(shuō)》作為其父親一部著作《向好學(xué)青年介紹純粹數(shù)學(xué)原理的嘗試》的附錄出版。老波爾約并把該書(shū)寄給了好朋友高斯，請(qǐng)他評(píng)價(jià)兒子的研究成果。,鮑耶的父親，高斯的同學(xué),高斯回信說(shuō)，如果從一開(kāi)始我就說(shuō)我不能稱贊波爾約的工作，那你一定感到奇怪。但我確實(shí)不能說(shuō)別的話，因?yàn)榉Q

23、贊他就等于稱贊我自己。你兒子所采用的方法和他所得到的結(jié)果幾乎和我30年前就已開(kāi)始的研究相符合，我自己永遠(yuǎn)不想發(fā)表，現(xiàn)在你的兒子能把它發(fā)表出來(lái)，我很高興。高斯的回信讓波爾約很失望，他不相信高斯在他之前就有了同樣的發(fā)現(xiàn)。他認(rèn)為高斯剽竊了他的成果，后來(lái)他又看到羅在1835年的著作時(shí)，也認(rèn)為羅抄了他1823年出版的附錄。這些想法使得年輕的波爾約對(duì)數(shù)學(xué)界失望至極，據(jù)說(shuō)他因此放棄了數(shù)學(xué)研究而轉(zhuǎn)向了神學(xué)。,所以非歐幾何的建立，要?dú)w功于高斯、羅巴切夫斯

24、基和波爾約。高斯雖然比羅早10年發(fā)現(xiàn)非歐幾何，但沒(méi)敢公開(kāi)發(fā)表。所以就發(fā)表時(shí)間之早、內(nèi)容之豐富、論證之完整以及對(duì)非歐幾何忠貞不渝的捍衛(wèi)來(lái)說(shuō)，高斯和波爾約都無(wú)法和羅相比。但令人遺憾的是，三位創(chuàng)始人在世時(shí)都沒(méi)能看到非歐幾何得到公眾的認(rèn)可，更沒(méi)能看到非歐幾何對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生的深刻影響。30年之后，19世紀(jì)中期德國(guó)的數(shù)學(xué)家黎曼又在非歐幾何現(xiàn)有的基礎(chǔ)上作出了突破。,2、黎曼對(duì)非歐幾何的貢獻(xiàn) 黎曼，高斯晚年的學(xué)生。1854年黎曼被聘為哥廷根大學(xué)的講

25、師，在就職演講中作了《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》的講演，提出了黎曼幾何學(xué)。,歐氏幾何中，過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行； 羅氏幾何中，過(guò)直線外一點(diǎn)，至少有兩條直線與已知直線平行； 黎曼幾何中，過(guò)直線外一點(diǎn)，沒(méi)有與已知直線平行的平行線可引。即同一平面上任意兩條直線一定相交。 德國(guó)的克萊因稱羅氏幾何為雙曲幾何，稱黎曼幾何為橢圓幾何。在黎曼幾何中，三角形的內(nèi)角和大于兩直角。,1826--1866,在一般的黎曼幾

26、何中，黎曼提出了用曲率概念來(lái)刻畫(huà)歐氏幾何及各種非歐幾何的差異。在黎曼空間中，一般情況下每一點(diǎn)的曲率是不同的，只有在特殊情況下才有恒常的曲率。恒常曲率的空間又分為3種： 1.零曲率空間，即歐氏空間；2.負(fù)曲率空間，即羅氏空間；3.正曲率空間，即狹義的黎曼空間。這樣，歐氏幾何與羅氏幾何就成為更一般的黎曼幾何的特例。,,黎曼的工作蘊(yùn)含了極為豐富和深刻的思想?？上难葜v除了年邁的高斯之外沒(méi)有人能聽(tīng)懂。后人對(duì)黎曼的評(píng)價(jià)是：黎曼把數(shù)學(xué)向前

27、推進(jìn)了幾代人的時(shí)間。 受相對(duì)論的影響，黎曼幾何又有了新的發(fā)展，成為現(xiàn)代微分幾何的基礎(chǔ)。,黎曼的球面幾何,過(guò)直線外一點(diǎn)所作任何直線都與該直線相交,球面上的幾何 要真正了解我們的生活空間，僅靠平面幾何的知識(shí)是不夠的。因?yàn)槲覀兩钤诘厍蛏?，地球表面十分接近一個(gè)球面，球面幾何是黎曼幾何的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。 1.地球上的赤道和兩條不同的經(jīng)線（大圓）組成的三角形的內(nèi)角和大于1800 。 2.地面上兩點(diǎn)之間最短的路程是大圓

28、的劣弧。 所以要走最短的路程從北京到紐約，按平面幾何知識(shí)兩點(diǎn)之間直線距離最短，但要走直線實(shí)際上是不可能的。因?yàn)楸本┖图~約分別在地球的東西半球上，要走直線只能打一個(gè)地洞，穿過(guò)地球的內(nèi)部。,,,,3.球面上任意兩個(gè)大圓都相交。所以如果我們把球面上的大圓看成是直線，那么在球面幾何中，任兩條直線必相交，所以沒(méi)有平行的概念。 4.若三對(duì)對(duì)應(yīng)內(nèi)角相等，則球面三角形的面積相等，所以這兩三角形必全等。所以球面上沒(méi)有相似三角形的概念，兩個(gè)

29、相似的三角形必全等。 5.相對(duì)于半徑，很小的一片球面可看作一個(gè)平面，即在小范圍內(nèi)平面幾何知識(shí)成立。當(dāng)球面半徑無(wú)限增大，球面幾何中的正余弦定理能推出平面幾何中的相應(yīng)公式。,3、幾何學(xué)的劃分 由關(guān)聯(lián)公理、合同公理、順序公理和連續(xù)公理構(gòu)成的幾何稱為絕對(duì)幾何，加入了歐氏平行公理后的幾何稱為歐氏幾何；加入了羅氏平行公理后的幾何稱為羅氏幾何；加入了黎曼平行公理后的幾何便稱為黎曼幾何。后兩種皆稱為非歐幾何。

30、 絕對(duì)幾何 歐氏幾何 羅氏幾何 黎曼幾何,,,,4、非歐幾何的模型 用單位圓的內(nèi)部|z|<1表示整個(gè)非歐平面，圓內(nèi)的點(diǎn)稱為非歐點(diǎn)，圓周|z|=1上的點(diǎn)都是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。當(dāng)圓內(nèi)的弦與圓周交于點(diǎn)A和B時(shí)，A、B是這一弦的兩無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。所以弦就具有一般直線的性質(zhì)，即它從兩端伸向無(wú)窮遠(yuǎn)處，所以可以把AB稱為非歐直線。過(guò)AB外一點(diǎn)P可作無(wú)窮多條直線與AB平行，如CD、EF。,,,,,P,A,B,C,D,F,E,5、非

31、歐幾何的相容性 自從人們?cè)跉W氏幾何中找到了非歐幾何的模型，有關(guān)非歐幾何的命題都可以通過(guò)歐氏幾何來(lái)證明。所以只要?dú)W氏幾何相容，那么非歐幾何就相容。同樣，人們?cè)诜菤W幾何中找到了歐氏幾何的模型，所以只要非歐幾何相容，歐氏幾何就相容。這就是相對(duì)相容性。歐氏幾何的相容性問(wèn)題最后可轉(zhuǎn)化為算術(shù)公理系統(tǒng)的相容性，所以只要算術(shù)公理系統(tǒng)相容，幾何的相容性問(wèn)題就解決了。這一問(wèn)題被希爾伯特列為著名的23個(gè)問(wèn)題中的第二個(gè)問(wèn)題，足以看出它是特別困難的問(wèn)題。

32、,6、平行公理的獨(dú)立性問(wèn)題 用1，2，3，4分別代表關(guān)聯(lián)公理、合同公理、順序公理和連續(xù)公理。由1，2，3，4構(gòu)成的幾何為絕對(duì)幾何，再加上歐氏平行公理5構(gòu)成歐氏幾何公理系統(tǒng)S:1，2，3，4，5。記羅氏平行公理為5*。由1，2，3，4，5*構(gòu)成非歐幾何公理系統(tǒng)S*： 1，2，3，4，5* 。下證5在S中獨(dú)立， 5* 在S*中獨(dú)立。 證明： （反證法） S與S*都相容。假設(shè)5在S中不獨(dú)立，即由1，2，3，4能推

33、出5。 因?yàn)镾*中也有1，2，3，4，所以在S*中也可由1， 2，3，4推出5。 但S*中已有5* ，這表明S*不相容。 這一矛盾表明，5在S中不獨(dú)立是不可能的。 同理可證， 5*在S*中獨(dú)立。,非歐幾何產(chǎn)生的重大意義,3,非歐幾何的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)有了更大的自由。在非歐幾何建立之前，盡管數(shù)學(xué)已經(jīng)得到了很大的發(fā)展，但主要是一種“積累性”的發(fā)展，并沒(méi)有出現(xiàn)兩種互不相容的理論同時(shí)出現(xiàn)，這很容易使人把數(shù)學(xué)看

34、作一種絕對(duì)真理。從數(shù)學(xué)發(fā)展史來(lái)看，這種情況由于非歐幾何的建立而得到根本性的變化。,非歐幾何的產(chǎn)生具有以下5方面的重大意義： 1.解決了長(zhǎng)期懸而未決的平行公理的獨(dú)立性問(wèn)題，同時(shí)極大推動(dòng)了關(guān)于公理體系的獨(dú)立性、相容性和完備性問(wèn)題的研究，促成了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這一更為深刻的數(shù)學(xué)分支的形成和發(fā)展，從而從根本上改變了人們的幾何觀念，擴(kuò)大了幾何學(xué)的研究對(duì)象，使幾何學(xué)的研究對(duì)象由圖形的性質(zhì)進(jìn)入到抽象的空間，使幾何的發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)以抽象為特征的嶄新階段

35、。,1899年，希爾伯特提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則，即相容性:從系統(tǒng)的公理出發(fā)不能推出矛盾;獨(dú)立性:系統(tǒng)的每條公理都不能是其余公理的邏輯推論;完備性:系統(tǒng)中所有的定理都可由該系統(tǒng)的公理推出。,希爾伯特(德, 1862-1943),在這樣組織起來(lái)的公理系統(tǒng)中，通過(guò)否定或者替換其中的一條或幾條公理，就可以得到相應(yīng)的某種幾何。這樣的做法，不僅給出了已有幾種非歐幾何的統(tǒng)一處理，而且還可以引出新的幾何學(xué)。,在其它科學(xué)中，比如經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)

36、學(xué)等，人們也希望用公理化方法建立自己的科學(xué)體系。 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的謝卜勒 (Shapley) 公平三原則： 原則1：同工同酬原則。 原則2：不勞不得原則。 原則3：多勞多得原則。,2.非歐幾何的產(chǎn)生證明了對(duì)公理方法本身的研究和討論是極有意義的，證明了公理方法本身能推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。 自非歐幾何學(xué)產(chǎn)生以來(lái)，整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域掀起了公理化運(yùn)動(dòng)，各個(gè)數(shù)學(xué)分支紛紛建立起自己的公理體系，被認(rèn)為最不容易建立在公理體系之上的

37、概率論在20世紀(jì)30年代也建立了公理系統(tǒng)。,3.非歐幾何的創(chuàng)立為愛(ài)因斯坦發(fā)展廣義相對(duì)論提供了思想基礎(chǔ)和有力工具。 非歐幾何思想使人類思維從直接經(jīng)驗(yàn)的狹小范圍中解放出來(lái)，激起了人們關(guān)于現(xiàn)實(shí)空間可能具有非歐幾何性質(zhì)的大膽想法。1915年愛(ài)因斯坦在創(chuàng)建廣義相對(duì)論的過(guò)程中，因?yàn)槿狈Ρ匾臄?shù)學(xué)工具長(zhǎng)期未能取得根本性的突破。當(dāng)他的好友德國(guó)的數(shù)學(xué)家格伯斯曼幫他掌握了黎曼幾何和張量分析后，愛(ài)因斯坦才創(chuàng)立了廣義相對(duì)論，完成了物理學(xué)中的一場(chǎng)革命，動(dòng)

38、搖了牛頓力學(xué)在物理學(xué)中的統(tǒng)治地位。 按照相對(duì)論的觀點(diǎn)，宇宙中的幾何學(xué)不是歐氏幾何，而是接近于非歐幾何，所以采用非歐幾何來(lái)作為宇宙的幾何模型。以非歐幾何為數(shù)學(xué)框架創(chuàng)立相對(duì)論這一事實(shí)也正實(shí)現(xiàn)了羅巴切夫斯基的預(yù)言：任何一門數(shù)學(xué)分支，不管它如何抽象，總有一天會(huì)在現(xiàn)實(shí)世界中找到它的應(yīng)用。,4.使數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究進(jìn)入了嶄新的歷史時(shí)期。 數(shù)學(xué)家們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)并非是絕對(duì)的真理，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于其自由性。感性直觀并不能作為數(shù)學(xué)的依據(jù)，只有合

39、乎邏輯的正確思維結(jié)果才是正確的，即使它與感性直觀相矛盾。同時(shí)也動(dòng)搖了公理是自明的這一傳統(tǒng)見(jiàn)解。 5.非歐幾何與相對(duì)論的匯合再一次說(shuō)明了數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性。 深?yuàn)W抽象的數(shù)學(xué)理論最后幾乎總無(wú)例外的在科學(xué)中得到應(yīng)用。在非歐幾何創(chuàng)立之后的幾十年中，都看不到它與物質(zhì)世界的任何聯(lián)系。大多數(shù)數(shù)學(xué)家認(rèn)為非歐幾何只是邏輯上的珍奇瑰寶，誰(shuí)也未曾想到，愛(ài)因斯坦利用非歐幾何的理論說(shuō)明了他關(guān)于引力的基本思想建立了相對(duì)論。愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論將牛

40、頓的引力理論視為曲率很小的時(shí)空所產(chǎn)生的極限情形。由此可知，非歐幾何不僅與物質(zhì)世界有關(guān)聯(lián)，而且比歐氏幾何更深刻地揭示了物質(zhì)空間。,回顧歷史，人們?cè)趲缀喂硐到y(tǒng)2000多年的探討中，可以說(shuō)經(jīng)歷了一個(gè)頗為壯觀的戲劇性變化，大致可分為以下6個(gè)階段： 1.建立歐氏公理系統(tǒng)并加以逐步完善； 在歐氏公理系統(tǒng)建立后不久，阿基米德就看出它缺少嚴(yán)格表述有關(guān)長(zhǎng)度、面積和體積的測(cè)量理論，于是補(bǔ)充了度量公理。1899年，希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》是繼

41、歐幾里得《幾何原本》最完備的公理系統(tǒng)。 2.長(zhǎng)期探討平行公理的獨(dú)立性問(wèn)題； 3.在獨(dú)立性問(wèn)題探討的過(guò)程中，產(chǎn)生了新的幾何（非歐幾何）； 4.對(duì)非歐幾何強(qiáng)烈地懷疑其相容性；,結(jié)束語(yǔ),5.由于在歐氏幾何中找到了非歐幾何的模型，以及在非歐幾何中找到了歐氏幾何的模型，發(fā)現(xiàn)了歐氏幾何與非歐幾何的相容性是相對(duì)的； 6.在相對(duì)相容性成立的條件下，證明歐氏幾何與非歐幾何中相應(yīng)的平行公理都獨(dú)立。,M.克萊因在《古今數(shù)

42、學(xué)思想》中說(shuō)：“如果我們把18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家想象為一系列的高山峻嶺，那么最后一座令人肅然起敬的顛峰就是高斯；如果把19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家想象為一條條江河，那么其源頭就是高斯?！?高斯（1777—1855），是18、19世紀(jì)之交最偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基人之一。在歷史上的影響可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”。他的形象已經(jīng)成為數(shù)學(xué)告別過(guò)去，走向現(xiàn)代數(shù)學(xué)的象征。,高斯,高斯出生于德國(guó)的不倫瑞克。祖父是

43、農(nóng)民，父母也沒(méi)有受過(guò)正規(guī)的教育。父親除了從事園藝的工作外，還當(dāng)過(guò)各種各樣的雜工，如護(hù)堤員、建筑工等。他的第一個(gè)妻子和他生活了10多年后因病去世，沒(méi)有孩子，后來(lái)又娶了高斯的母親。高斯的母親在34歲時(shí)才結(jié)婚，35歲生下了高斯。她是一名石匠的女兒，有一個(gè)很聰明的弟弟。高斯的這個(gè)舅舅，心靈手巧，是當(dāng)?shù)赜忻目椌I高手。他是高斯的啟蒙老師，對(duì)幼年的高斯影響很大。一有機(jī)會(huì)，就教育他，并傳授給他一些知識(shí)。而高斯的父親卻認(rèn)為只有靠力氣才能掙錢，學(xué)問(wèn)對(duì)窮人

44、沒(méi)有用，所以他想讓高斯和他一起做園丁或泥瓦匠。,高斯的舅舅經(jīng)常勸姐夫讓高斯向?qū)W者的方向發(fā)展。高斯的母親對(duì)他的成長(zhǎng)也起了重要作用，她有效地保護(hù)和支持了高斯的自由發(fā)展。在高斯童年的時(shí)候，他對(duì)一切現(xiàn)象和事物好奇，決心弄個(gè)水落石出。為此，高斯的父親經(jīng)常訓(xùn)斥高斯，但母親站在高斯的一邊，堅(jiān)決反對(duì)頑固的丈夫想把兒子變得和他一樣無(wú)知。 高斯3歲時(shí)就顯示出了數(shù)學(xué)才能。據(jù)說(shuō)有一天，父親在計(jì)算工人們一周的薪水，他在旁邊觀看。父親喃喃地計(jì)數(shù)，最后還長(zhǎng)嘆

45、一聲表示總算把錢數(shù)算完了。當(dāng)父親準(zhǔn)備記下錢數(shù)時(shí)，身邊傳來(lái)了高斯微小的聲音：爸爸算錯(cuò)了，錢數(shù)應(yīng)該是……。父親驚訝地說(shuō)不出話，就又算了一次。果然是小高斯算對(duì)了。奇怪的是，平常沒(méi)有人教過(guò)高斯計(jì)算，高斯通過(guò)自己的觀察竟學(xué)會(huì)了計(jì)算。,高斯7歲上學(xué)。10歲時(shí)，有一次，算術(shù)老師讓全班同學(xué)計(jì)算1＋2＋3＋….＋100＝？高斯沒(méi)有象其他同學(xué)一樣急著相加，而是仔細(xì)地觀察思考。他發(fā)現(xiàn)：1＋100＝101，2＋99＝101，……，50＋51＝101。所以老師剛

46、寫(xiě)完這個(gè)問(wèn)題不久，高斯就在小石板上寫(xiě)出了答案5050，而其他學(xué)生直算到頭昏腦漲，仍然沒(méi)有算出來(lái)。10歲的高斯表現(xiàn)出了超群的數(shù)學(xué)思維能力。高斯的計(jì)算能力和他那獨(dú)到的數(shù)學(xué)方法和非同一般的創(chuàng)造力，使得老師刮目相看。,高斯的這位算術(shù)老師本來(lái)對(duì)學(xué)生的態(tài)度不好，他常常認(rèn)為自己在窮鄉(xiāng)僻壤教書(shū)是懷才不遇。現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)了神童，他很高興。但很快他就感到慚愧，因?yàn)樗X(jué)得自己懂得數(shù)學(xué)不多，不能對(duì)高斯有什么幫助。他就去城里自己花錢買了一本最好的數(shù)學(xué)書(shū)送給了高斯，并感

47、嘆說(shuō)：“他已經(jīng)超過(guò)了我，我已經(jīng)沒(méi)有什么可以教給他了。”高斯便與老師的助手——一位富有數(shù)學(xué)天才的好學(xué)青年巴特爾斯一起研究學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，后來(lái)巴特爾斯也成為數(shù)學(xué)家，主持俄國(guó)喀山大學(xué)的數(shù)學(xué)講座。 11歲時(shí)，高斯發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理的一般情形，他還注意到無(wú)窮的問(wèn)題。,有一天，在回家的路上，高斯一邊走一邊全神貫注的看書(shū)，不知不覺(jué)走進(jìn)了布倫茲維克公爵的花園。公爵夫人看到這個(gè)小孩那么喜歡讀書(shū)，就和他聊天。她發(fā)現(xiàn)原來(lái)高斯完全明白他讀的深?yuàn)W的書(shū)中的內(nèi)容。公

48、爵夫人就把這件事告訴了公爵，公爵也曾聽(tīng)說(shuō)在他管轄的領(lǐng)地有一個(gè)非常聰明的小孩。于是他派人把高斯叫到了莊園。公爵很喜歡這個(gè)害羞的孩子，也賞識(shí)他的才能。于是決定給這個(gè)樸實(shí)、聰明但家境貧寒的學(xué)生提供經(jīng)濟(jì)援助，讓高斯有機(jī)會(huì)接受高等教育。公爵在高斯的成才過(guò)程中起了舉足輕重的作用。這種作用實(shí)際上反映了歐洲近代科學(xué)發(fā)展的一種模式，表明在科學(xué)研究社會(huì)化以前，私人的資助是科學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)因素之一。高斯正處于私人資助科學(xué)研究和科學(xué)研究社會(huì)化的轉(zhuǎn)變時(shí)期。,在

49、公爵的幫助下，15歲的高斯進(jìn)入了當(dāng)?shù)匾凰膶W(xué)院。在那里他學(xué)習(xí)古代和現(xiàn)代語(yǔ)言，同時(shí)也開(kāi)始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。他專心閱讀了牛頓、歐拉、拉格朗日等歐洲著名數(shù)學(xué)家的著作。他對(duì)牛頓特別欽佩，并很快掌握了牛頓的微積分。 1795年10月，公爵又為18歲的高斯支付各種費(fèi)用，讓他去哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)。哥廷根大學(xué)是德國(guó)也是全世界的數(shù)學(xué)中心，學(xué)術(shù)風(fēng)氣濃厚，有大量的數(shù)學(xué)藏書(shū)，許多外國(guó)學(xué)生來(lái)到這里學(xué)習(xí)語(yǔ)言、神學(xué)、法律和醫(yī)學(xué)。這時(shí)高斯不知道要讀數(shù)學(xué)系還是語(yǔ)言系

50、，盡管這一年他發(fā)明了最小二乘法。因?yàn)閺膶?shí)用的觀點(diǎn)來(lái)看，當(dāng)時(shí)學(xué)數(shù)學(xué)不容易找工作。然而，他在數(shù)學(xué)上的一個(gè)發(fā)現(xiàn)，使他決定要把自己的一生都獻(xiàn)給數(shù)學(xué)。這個(gè)發(fā)現(xiàn)就是著名的尺規(guī)作圖問(wèn)題。,上初中時(shí)我們就知道，幾何尺規(guī)作圖所使用的工具是有嚴(yán)格限制的。只準(zhǔn)用圓規(guī)和直尺，并且直尺不能有刻度，也不能用量角器和其它工具。實(shí)際上，這種限制來(lái)自古希臘并且沿用至今。為什么要加上這樣的限制呢？比如要找一個(gè)線段的中點(diǎn)，先用有刻度的尺子去量，看這個(gè)線段的長(zhǎng)度是多少，再量線

51、段長(zhǎng)度的一半就找出中點(diǎn)了。為什么一定要用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)去尋求呢？,古希臘人認(rèn)為，所有的幾何圖形都是由直線段和圓弧構(gòu)成的。圓是最完美的圖形。他們確信僅靠直尺和圓規(guī)就可作出圖形來(lái)。古希臘人講究理性思維，講究精確和嚴(yán)謹(jǐn)。他們認(rèn)為依據(jù)從少數(shù)假定出發(fā)經(jīng)由邏輯把握的東西最可靠。比如求已知線段AB的中點(diǎn)問(wèn)題，作圖的步驟為：1、以A為圓心，以一適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧。2、以B為圓心，以同樣長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧。3、兩弧相交于兩點(diǎn)，作兩點(diǎn)的連線，此連線與已知直

52、線的交點(diǎn)即為所求中點(diǎn)。然后，再根據(jù)已知的幾何命題來(lái)證明這個(gè)點(diǎn)是中點(diǎn)。人們認(rèn)為，這不僅是可靠的找到了中點(diǎn)，而且體現(xiàn)了一種完美的思路和做法。,數(shù)學(xué)家們對(duì)正多邊形的尺規(guī)作圖很感興趣。正三角形、正四邊形、正六邊形很好作，正五邊形難作一點(diǎn)，但人們也找到了正五邊形的尺規(guī)作圖方法。那么，正七邊形的尺規(guī)作圖如何作？很久沒(méi)找到作正七邊形的方法說(shuō)明正七邊形不容易作，同時(shí)一直沒(méi)有找到這種作法也使人懷疑：究竟能否用尺規(guī)作出正七邊形來(lái)？在數(shù)學(xué)上不容許有這樣的判斷

53、：至今一直沒(méi)有人找到正七邊形的尺規(guī)作圖方法，就斷言它不能用尺規(guī)作出。 人們迅速解決了正三、四、五、六邊形的尺規(guī)作圖問(wèn)題，卻在正七邊形面前止步了。究竟能不能作出得不到答案。這個(gè)問(wèn)題就這樣一直懸而未決了2000多年。,17世紀(jì)的法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)馬，他研究了形如 的數(shù)。費(fèi)馬猜測(cè) 都是素?cái)?shù)。對(duì)于 時(shí)，易算出相應(yīng)的,經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，這五個(gè)數(shù)的確是素?cái)?shù)，那

54、 是否也是素?cái)?shù)呢？?jī)H這一個(gè)問(wèn)題，差不多100年之后才有了一個(gè)結(jié)論：偉大的歐拉發(fā)現(xiàn)它竟不是素?cái)?shù)。所以費(fèi)馬的猜想是錯(cuò)的。,這個(gè)例子也說(shuō)明了判斷一個(gè)較大的數(shù)是否為素?cái)?shù)決不是一件簡(jiǎn)單的事。不然，為何要等一百年且需要?dú)W拉這樣的人來(lái)解決？,更奇怪的是，不僅 不是素?cái)?shù)， 也不是。 等還不是。甚至，對(duì)

55、 也能判斷出它不是素?cái)?shù)。所以至今，人們只知道 這五個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)。除此之外，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)其它素?cái)?shù)，所以人們就產(chǎn)生了一個(gè)與費(fèi)馬猜想大相徑庭的猜想：形如 的素?cái)?shù)只有有限個(gè)。但對(duì)此并未能證明。,形如 的素?cái)?shù)被稱為費(fèi)馬素?cái)?shù)。由于素?cái)?shù)分解的困難，不僅對(duì)形如 的素?cái)?shù)是否只有有限個(gè)的一般結(jié)論很難作出，而且具體分解某個(gè) 也不是一件簡(jiǎn)單的事。,更令人

56、驚奇的事發(fā)生在距歐拉發(fā)現(xiàn) 不是素?cái)?shù)之后的60多年，高斯發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正多邊形的邊數(shù)是費(fèi)馬素?cái)?shù)時(shí)，可以尺規(guī)作圖。他還得出了更一般的結(jié)論：正n多邊形可尺規(guī)作圖,回頭來(lái)看，正7邊形能否尺規(guī)作圖呢？不能，因?yàn)?是素?cái)?shù)，但不是費(fèi)馬素?cái)?shù)。正17邊形可以尺規(guī)作圖，高斯在18歲時(shí)作出了正17邊形。他本人對(duì)此頗為欣賞。當(dāng)他帶著正17邊形可尺規(guī)作圖的證明去找哥廷根大學(xué)的數(shù)學(xué)教授卡斯特勒時(shí)，卡不相信。但高斯很自信，請(qǐng)求卡看看他的證明，但卡只想從高斯的證明

57、中找出錯(cuò)誤，但高斯仍堅(jiān)定了從事數(shù)學(xué)的信心。本來(lái)還在語(yǔ)言學(xué)和數(shù)學(xué)之間猶豫的他，就毅然選擇了數(shù)學(xué)，并且希望去世后，在他的墓碑上刻一個(gè)正17邊形，以紀(jì)念他一生中第一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)。果然在他去世后，哥廷根大學(xué)為他建立一個(gè)以正17棱柱為底座的紀(jì)念像。,根據(jù)高斯的發(fā)現(xiàn)，一位哥廷根大學(xué)的教授又作出了正257邊形。就這樣，一個(gè)懸而未決2000多年的古老的幾何問(wèn)題得到了圓滿的解決。而這一問(wèn)題的解決過(guò)程竟與一個(gè)沒(méi)有猜對(duì)的猜想有關(guān)。 高斯的理論使我們知

58、道，正3、5邊形為什么能夠尺規(guī)作圖。因?yàn)?、5都是費(fèi)馬素?cái)?shù)。對(duì)于正7、11、13邊形，我們可以有把握地說(shuō)它們不能尺規(guī)作圖。因?yàn)?、11、13都不是費(fèi)馬素?cái)?shù)。對(duì)于正257、65537邊形，雖然我們不知道如何具體作，但理論上它們是可以尺規(guī)作圖的。那為什么正4、6邊形可以尺規(guī)作圖呢？因?yàn)?在高斯發(fā)現(xiàn)關(guān)于正多邊形結(jié)果的那天起，他就開(kāi)始寫(xiě)他那本著名的數(shù)學(xué)日記，這本日記中記載了他的許多數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和想法。直到高斯死后43年，人們才發(fā)現(xiàn)了這本日記。日記中

59、的所有想法除兩條外，人們都已弄清楚了，包括非歐幾何和非交換代數(shù)的思想、橢圓函數(shù)的雙周期性等。僅其中的一條，如果高斯發(fā)表了，就會(huì)贏得數(shù)學(xué)上的榮譽(yù)，但高斯從沒(méi)有發(fā)表過(guò)它。因?yàn)楦咚故且晃恢辽普撜?，像牛頓那樣，他絕不隨便發(fā)表他的著作。因?yàn)樗胱屗鼈冏兊酶鼉?yōu)美、更完善。他認(rèn)為，一個(gè)大教堂在沒(méi)有去掉腳手架之前不能算是一個(gè)大教堂。所以他發(fā)表的論文都要達(dá)到嚴(yán)謹(jǐn)、完整、簡(jiǎn)明、優(yōu)美和令人信服。他堅(jiān)守著自己的格言： 寧肯少些，但要好些。,1799年，

60、高斯呈上了他的博士論文，論文中證明了代數(shù)上的一個(gè)重要定理，即代數(shù)基本定理：n次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)都有n個(gè)根。這一定理在20世紀(jì)前的代數(shù)領(lǐng)域具有核心作用，因而被稱為代數(shù)基本定理。他的存在性證明開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的新途徑。實(shí)際上，在高斯之前有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為已給出了這個(gè)結(jié)果的證明，可是沒(méi)有一個(gè)證明是嚴(yán)密的。高斯是第一個(gè)給出嚴(yán)密無(wú)誤的證明的數(shù)學(xué)家。高斯認(rèn)為這個(gè)定理很重要，在他的一生中給出了4個(gè)不同的證明。 高斯沒(méi)有錢印刷長(zhǎng)篇的博士論文，幸好

61、公爵又一次援助了他，給他錢印刷。雖然他的博士論文順利通過(guò)了，被授予了博士學(xué)位，同時(shí)獲得了講師職位，但他沒(méi)有吸引住學(xué)生，所以只好回老家。正當(dāng)他為自己的前途生計(jì)擔(dān)憂而病倒時(shí)，公爵又送給他一幢公寓，負(fù)擔(dān)了高斯所有的生活費(fèi)用。所有這一切，令高斯十分感動(dòng)。,1807年，高斯赴哥廷根就職，全家遷居于此。洪堡等人的努力，不僅使高斯一家人有了舒適的生活環(huán)境，使高斯本人可以充分發(fā)揮其天才，而且為哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的創(chuàng)立及德國(guó)成為世界科學(xué)中心和數(shù)學(xué)中心創(chuàng)造了條

62、件。同時(shí)，這也標(biāo)志著科學(xué)研究社會(huì)化的良好開(kāi)端。,1806年，公爵在抵抗拿破侖統(tǒng)帥的法軍時(shí)，不幸陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕了很長(zhǎng)時(shí)間，對(duì)法國(guó)人有一種深深的敵意。資助人去世了，高斯必須找一份合適的工作來(lái)維持一家人的生計(jì)。德國(guó)著名學(xué)者洪堡為高斯?fàn)幦〉搅烁缤⒏髮W(xué)數(shù)學(xué)和天文學(xué)教授及哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)的職位。,高斯在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有重大的貢獻(xiàn)。有人說(shuō)：“在數(shù)學(xué)世界里，高斯處處流芳。” 1.他是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)者之一。 關(guān)于非

63、歐幾何的思想，在高斯的日記中早有記載。1816年，他在一封信中透露了他關(guān)于歐氏幾何的一些想法。他說(shuō)，假如歐氏幾何不是唯一的幾何學(xué)，就還有另外一種在邏輯上同樣嚴(yán)格的幾何學(xué)，但這一成果高斯從未發(fā)表過(guò)。,3.在復(fù)變函數(shù)中，他先后引入了復(fù)數(shù)、復(fù)平面等概念，給出了復(fù)數(shù)的幾何解釋，所以后人將復(fù)平面稱為高斯平面。他消除了數(shù)學(xué)家對(duì)虛數(shù)是否存在的疑慮，提出用i表示虛數(shù)單位，并利用平面向量與復(fù)數(shù)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，奠定了向量分析的方向。,2.在數(shù)論方面

64、 1801年，24歲的高斯出版了名著《算術(shù)研究》，開(kāi)辟了數(shù)論研究的新時(shí)代。這使高斯立即躋身于一流數(shù)學(xué)家之列。原書(shū)共有8章，由于錢不夠只印了7章。在這本書(shū)中，第一次介紹了同余的概念、代數(shù)數(shù)及型的理論。這本書(shū)不僅標(biāo)志著現(xiàn)代數(shù)論的開(kāi)始，而且還確定了現(xiàn)代數(shù)論的研究方向。 數(shù)論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展。高斯認(rèn)為：數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之王。,4.1812年高斯發(fā)表關(guān)于超幾何級(jí)數(shù)的研究，這在數(shù)學(xué)物理中是十分重要的一類特殊函數(shù)

65、。 5.微分幾何的開(kāi)創(chuàng)者。 現(xiàn)代微分幾何大師陳省身證明過(guò)高維的高斯—邦內(nèi)公式。50歲那年，高斯親自參加野外實(shí)地測(cè)量，建立了關(guān)于曲面研究的系統(tǒng)理論，發(fā)表了論文《關(guān)于曲面的一般研究》，開(kāi)創(chuàng)了微分幾何的先河。后來(lái)黎曼又進(jìn)一步發(fā)展了高斯的曲面理論。現(xiàn)在我們學(xué)的微分幾何中有大部分的成果源于高斯的發(fā)現(xiàn)。 6.橢圓函數(shù)論和統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué) 他十分注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，并且在對(duì)天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中也偏重于用

66、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究。,高斯的工作態(tài)度 高斯工作時(shí)專心一致。 他很愛(ài)他的妻子，曾花了2年的時(shí)間寫(xiě)信追求他，但不幸的是他們結(jié)婚4年后妻子就病死了，留下了3個(gè)孩子。據(jù)說(shuō)在妻子病重時(shí)，高斯正在研究數(shù)學(xué)。仆人匆匆忙忙跑過(guò)來(lái)告訴他，夫人病得愈來(lái)愈嚴(yán)重了。高斯好像聽(tīng)到了，可是他卻繼續(xù)工作。過(guò)了不久，仆人又跑過(guò)來(lái)說(shuō)，夫人病得很重，要求高斯立即去看看。高斯回答說(shuō)：“我就來(lái)?！笨墒侨宰谀抢锍了?。仆人第三次跑過(guò)來(lái)通知高斯，“夫人快死了，如果您

67、不馬上過(guò)去，就見(jiàn)不到她最后一面了。”高斯抬起頭，回答說(shuō)“叫她等一下，我馬上過(guò)去?！?這種心無(wú)旁騖的工作精神，常人少見(jiàn)。妻子的去世給他很大打擊，幸好，他又娶了妻子的好朋友，后妻對(duì)3個(gè)孩子很愛(ài)護(hù)，也明白高斯工作的重要性。,高斯對(duì)自己的工作精益求精，非常嚴(yán)格地要求自己的研究成果。許多數(shù)學(xué)家勸他不要太認(rèn)真，把想法寫(xiě)下來(lái)發(fā)表對(duì)數(shù)學(xué)的促進(jìn)是很有幫助的。但他要讓他的工作無(wú)暇的出現(xiàn)在眾人面前。所以他對(duì)待科學(xué)的態(tài)度始終是謹(jǐn)慎的。他在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，都有充

68、分的理論依據(jù)，最后才得出結(jié)論。他一生只發(fā)表了155篇論文，大量的著作沒(méi)有發(fā)表。但奇怪的是，高斯的論文中從不詳細(xì)寫(xiě)明思路，人們很難理解他的數(shù)學(xué)思想。對(duì)他的評(píng)價(jià)是：這個(gè)人象狐貍似的，把沙土上留下的足跡用尾巴全部掃掉。 美國(guó)著名數(shù)學(xué)家貝爾在所著的《數(shù)學(xué)工作者》一書(shū)中曾經(jīng)這樣評(píng)價(jià)高斯：“在高斯死后，人們才知道他早就預(yù)見(jiàn)了19世紀(jì)的一些數(shù)學(xué)。如果他能把他所知道的一些東西泄漏出來(lái)，很可能現(xiàn)在的數(shù)學(xué)早比目前還要先進(jìn)半個(gè)世紀(jì)或更多時(shí)間。阿貝爾和