數學史與數學教育(2)

1、數學史與數學教育,第二章 數論與方程 本章以方程為主線，來討論數學歷史上的第二次抽象 —— 符號數學的發(fā)展歷史，內容涉及初等數論和初等代數的相關問題。其中所要關注的焦點有兩個，一是當人們初步完成由具體事物向數字抽象(數的第一次抽象)之后，勢必會對數的本身的性質產生興趣，這就是有關數論的問題；另一個焦點是數的進一步符號化(數的第二次抽象)，即以字母表示數，從而導致代數學的產生和發(fā)展。,數論與方程,§2.1數的性質

2、§2.2數論的發(fā)展歷史 §2.3方程的歷史 §2.4方程的發(fā)展,§2.1數的性質,一.數的崇拜與禁忌 ?遠古時代人們往往把認識到的數與環(huán)境、自然現(xiàn)象以及生活勞動進行聯(lián)系，以此用來表達自已的喜好和厭惡。由于無法認識和解釋自然界的種種奇特現(xiàn)象，因而產生強烈的神秘感，轉而演化成對數的崇拜。 ?如畢達哥拉斯學派就對數表現(xiàn)出一種非同一般的崇拜。他們把自已的哲學原理、理論基礎乃至精神

3、支柱都集于一個如此簡單而渺小的 “數”的身上，這在整個哲學史上也是獨一無二的。 ?又如中國古代對“九”寵愛有加。再如古巴比倫對六十崇拜也有突出的表現(xiàn)。,§2.1數的性質,二.數與文化 ?中國古代把數分為兩類，一類為陽數(后來稱之為奇數)象征白(色)、晝(白大)、熱、日、火，同樣畢達哥拉斯學派認為奇數不可分，因而是陽性的、屬天的；另一類為陰數(后來稱之為偶數)則象征著黑(色)、夜、冷、月、水，畢達哥拉斯學派也

4、認為偶數是可以分解的，因而是陰性的、屬地的。,§2.1數的性質,三.親合數與完全數 ?一個數的真因子的和是另一個數，而另一個數的真因子的和恰好又等于這個數,具有這樣性質的一對數稱為親和數(也稱相親數)。 ?如果要問畢達哥拉斯學派的信徒誰是他的朋友，他將毫不遲疑地問答說：“就象220和284一樣?！??從畢達哥拉斯給出親和數220,284之后，費爾馬(P.Fermat，法國，1601～1665)

5、于1637年才發(fā)現(xiàn)了另一對親和數，即17926和18416。事隔兩年，笛卡爾給出了第三對親和數：9,363,584和9,437,056。 ?如果一個數等于其真因子的和，則稱之為完全數。如，6=(1+2+3)， 28，496，以及8128。,§2.1數的性質,〖問題2.1〗 1.人們對一個數的因數的研究時，發(fā)現(xiàn)具有特殊性質的數主要是 什么數？它們各具有什么性質？

6、 2.數學是人類文化的表現(xiàn)形式之一，在數學教學中你將如何體現(xiàn) 數學的文化內涵？,§2.2 數論的發(fā)展歷史,按照上述的有關內容的介紹可以看出，對數的崇拜和好奇是促使人們去研究數的原始推動力，這樣一部以整數的結構和性質為研究對象的學科也就涎生了，它就是數論。人們大致贊同數論的研究在內容上是從數的可約性開始的。如果“可約”則它是一個整除性問題，如果“不可約”則為余數問題。因而整除性理論被稱作是數論中最古老的內

7、容。,§2.2 數論的發(fā)展歷史,一.整除理論 ?對整除理論作出杰出貢獻的是古典時期的希臘人。 ? Euclid在他的《幾何原本》中給出了最古老的算術基本定理：任 一合數都為某質數量盡。 ?備受人們推祟的是他對命題；“素數的個數是無窮的”(質數的數目 比任何指定的數目都要多)的證明。 ?而四百年后的尼可馬修斯(Nichomachus，希臘，約公元1

8、00年)所 寫的《算術入門》卻成為了數學歷史上第一部數論典籍。 ?書中介紹了如何尋找不大于給定的自然數N的所有質數的辦 法．即著名的愛拉多塞(埃拉托色尼，Eratesthenes，希臘，公元前 230年)“篩法”。,§2.2 數論的發(fā)展歷史,二.中國剩余定理 ?中國剩余定理也稱“孫子定理”,起源于《孫子算經》(約公元400午)中的個著名的問題(卷下第26題)：

9、 “今有物個知其數，三三數之剩二：，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何?” ?這個問題涉及到的即為同余理論，它是由我國最早研究并取得輝 煌的理論成就的數論課題。 ?秦九韶在《數書九章》第—章“大衍術”中給出了如何求一次同余式 組的方法，而他所構造的同余式的右邊均為一，所以他的這一方法 被稱為“大衍求一術”。,§2.2 數論的發(fā)展歷史,?但是“大衍求—術

10、”后來竟失傳達五百年之久，遲至清朝由黃宗憲(?)等人，經過艱苦努力終于被重新挖掘出來。 ?中國剩余定理從發(fā)現(xiàn)(孫子問題)到理論形成(求—術)經失傳而后重新挖掘，雖然歷時—千多年的時間，但在世界上—直處于領先地位，遲至1801年高斯(K．P．Gauss,德，1777～1855)的《算術研究》才作出了與秦九韶相同的結果。,§2.2 數論的發(fā)展歷史,三. 數論的發(fā)展 1．費爾馬與數論 ?現(xiàn)代數論的發(fā)展源于一些人

11、對算術問題的偏好。對數論問題的教早研究的人應屬費爾馬（P.Fermat,法國，1601～1665）。 ?費爾馬是一個不折不扣的數學業(yè)余好者，但他既是解析幾何的發(fā)明者(與笛卡爾共有)，也是概率論的開創(chuàng)者(與帕斯卡同享)，還是數論領域中的先驅者。 ?1640年費爾馬給出—個定理：形如4n+l的—個質數可能而且只能以—種方式表達為兩個平方數之和。同年Fermat在給朋友的一封信中指出后來被稱為“費爾馬小定理” 的斷言：若p

12、是質數且a與p互質，則p ︱ (ap - a)。 ?另外一個特別的問題就是著名的“費爾馬大定理” ：設整數n＞2，則沒有正整數解。這一問題直到1994年9月，年輕的英國數學家懷爾斯(Andrew．Wiles)(時年41歲)最終完成了證明過程。,§2.2 數論的發(fā)展歷史,2.高斯與數論分數的應用 ?盡管費爾馬作為現(xiàn)代數論先驅者的地位不可動搖，然而現(xiàn)代數論的統(tǒng)一理論的創(chuàng)建者卻是天才數學家高斯。 ? 177

13、7年高斯（Gauss）生于德國，死于1855年。1801年，年僅24歲的高斯編寫了《算術研究》，這部著作的出版標志著費爾馬時代的那種“問題式” 數論的結束，而—種全新的 —— 純理論的數論研究方式的正式開始，它把數論研究提高到了—個更高的境界，因此歷史上一般認為1801為現(xiàn)代數論的誕生之年。,§2.2 數論的發(fā)展歷史,四.哥德巴赫猜想 ?也許費爾馬大定理的征明與否并不重要，但人們長期艱苦的探索卻大大地促進了數學、特別

14、是數論方面的發(fā)展，其歷史意義已遠遠超出了其定理本身。而在數論領域內與之具有相似作用的“預言”，便是“哥德巴赫猜想”。 ?1742年德國一位名叫哥德巴赫(Glodbach，1690～1764)的教師在對正整數分拆成幾個數之和時發(fā)現(xiàn)，可能每個偶數(大于2)都可以表示成兩個素數之和，為此他對許多偶數作了驗證，結果都是對的，(如36=17+19)。,§2.2 數論的發(fā)展歷史,?1918年布朗(Brown，又譯布潤，F(xiàn).Bru

15、n，栩6威)采用“篩法”證明了 如下結論：每個大偶數都是9個素因子之積加上9個素因子之積。簡 記作命題〖9+9〗。 ?二十世紀三十年代，數學家們證明了命題〖6+6〗；1956年維諾格 拉多夫(俄，189l～1983)證明了命題〖3+3〗 ?1957年中國數學家王元證得命題〖3+2〗。 ?至1948年開始，數學家采用另一種方式，即證明命題〖1+c〗來尋

16、 求突破的方向。蘭恩(Lane，匈牙利)，潘承洞，王元，以及勃姆別 里（Bombieri）分別證明了命題〖1+6〗,〖1+5〗,〖1+4〗,〖1+3〗。 ?1966年陳景潤（1933～1996）經過艱苦的努力終于證明了命題 〖1+2〗，1973年正式以題目《大素數表為一個素數及不超過兩個素 數積之和》發(fā)表， 這—偉大成就被譽為“光輝的頂點”，并命名為“陳 氏定理”。,§

17、2.2 數論的發(fā)展歷史,五.數論發(fā)展歷史的啟示意義 1.從歷史的角度來看，由于深刻的文化內涵附著于數之身上，使得 看似枯燥的數字蘊藏著豐富的思想內容。 2.好奇心與好勝心往往是人類探索奧秘的原動力。 3.數學歷史上的“問題”有千千萬萬，惟獨數論“問題”使人們樂此不 疲、如痢如醉。這個現(xiàn)象容易促使我們關注“問題”的類型、特點

18、 和方式對人們的導向作用。,§2.2 數論的發(fā)展歷史,〖問題2.2〗 1.現(xiàn)代數論的誕生之年是哪一年？它是以什么事件作為標志的？ 2.歐幾里德關于命題“素數的個數是無窮的”的證明對“反證法”的教 學 具有什么啟示？ 3.通過數論發(fā)展歷史的啟示，如何認識“問題教學”在數學教學中的 作用？ 4. 試用愛拉

19、多塞的“篩法”找出所有四十以內的質數。 5. 運用“大衍求一術”求解楊輝的問題“二數余一，五數余二，七數 余三，九數余四，問原數幾何?”,§2.3 方程的歷史,一.方程的產生1.中國的方程 ?早在《九章算術》第八章“方程”章中就出現(xiàn)“方程”二字。劉徽注釋時，對其解釋說：“程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂

20、之方程?！逼渲小罢n”為比較的意思，而“程”則為表達的意思。 ?可見，按照“方程”的原義可以把它理解為“方形表達式”，與現(xiàn)在 的“增廣矩陣”類似。,§2.3 方程的歷史,?1683年日本數學家關孝和(1642～1708)于《解伏題之法》中給出行 列式的概念。 ?1750年克萊姆(G.Cramer，瑞士，1704～1752)著《線性代數分析導 言》,系統(tǒng)而完整地闡述了行列式理

21、論，其中包括現(xiàn)在大家所熟知的 克萊姆法則。 ?1850年西勒維斯特(J.Sylvest，英，1814～1897年)“搶得頭功”提出 了矩陣概念，其意即為“矩形陣式”。 ?但1855年凱雷(A．Cayley，英 1821～1895年，西勒維斯特的好友) 把矩陣從線性方程組中獨立出來，建立了系統(tǒng)的矩陣理論，而成為了矩陣的創(chuàng)始人。,§2.3 方程的歷史,2.西學的方程

22、 ?現(xiàn)代意義上的“方程”的原意是“等式”，拉丁文表達為oequatio，英 文equation則由它演變而來。 ?1850年李善蘭第一次把equation翻譯為“方程式”，后于二十世紀五 十年代，才把“方程式”簡稱為“方程”，表示“含有未知數的等式”。 ?印度于公元四世紀在巴克沙里手稿中就發(fā)現(xiàn)有關一元一次方程的 記載。阿拉伯人在代數方面具有獨到之處。 ?特別

23、是花拉子模（Al-Khowarijmi，公元780～850年）的著作《代 數學》對方程作了較為系統(tǒng)地論述，而且他是歷史上第—個把“未知 量”叫做“硬幣”、“東西”和“根”(植物的根)的人。 ?另外現(xiàn)在的代數學“A1gebra”就源于此書中一個描述“還原”的詞語 “al-jabr”。,§2.3 方程的歷史,二.一元一次方程 1.試位法 ? “試位法”

24、是通過對所求的數先進行“試探”然后得出結果的方法。 因為其過程采用了一次假沒,故也叫“單假設法”。 ?在歷史上，印度是較早使用上述方法的國家,約公元前4世紀的巴克 沙里手稿中就有記錄解一元一次方程的方法。 2.盈不足術 ?“盈不足術”也叫契丹算法、萬能算法及“雙假設法”。 ?《九章算術》第七章即為“盈不足”。李籍《音義》說：“盈者，滿 也。不足者，虛也。滿虛

25、相推，以求其適，故曰盈不足。”,§2.3 方程的歷史,二.不定方程 ?不定方程原指解為不確定的方程，其特點是方程的個數少于未知數的個數。 ?在實際解不定方程中，一是求某一類的解，如前述同余式的解；二是對所求解設定某一個范圍(如僅求方程的正整數解)。 1.中國古代的不定方程 ?中國古代研究不定方程的歷史非常悠久，前述同余式就是一個突出的表現(xiàn)。其實早在們《九章算術》中就載有類似的問題。如其中 “

26、方程”章之問〖一十三〗“五家共井”便是不定方程問題，而且它是歷史上最古老的不定方程。 ?另外，南北朝時期(公元420—520年)的《張丘建算經》載有著名的 “百錢買百雞”問題則是典型的不定方程問題。,§2.3 方程的歷史,2．古希臘的不定方程 ?古希臘數學家丟番圖對不定方程頗有研究。 ?出自他的《Arithmetica》 (算術)的而后引出費爾馬大定理的著名 問題

27、： “一個平方數可分解為兩個平方數之和” 便是一個不定方程問題。  3．印度的不定方程 ?印度人熱衷于尋求一個不定方程的所有整數解，并且把這些結果 用于實際之中。 ?印度數學家阿耶波多(ryabhata)早先就對諸如“求不定方程 ax±by=c(a，b，c是正整數)的整數解”等問題作過研究。 ?而后婆羅摩芨多、婆什迦羅也對不

28、定方程研究的發(fā)展作出貢獻。,§2.3 方程的歷史,四、方程的歷史啟示意義 1.方程的產生完全是出于實際的需要，即為了解決實際生活中的 問題。 2.由簡單到復雜，實則為人的認識活動的基本規(guī)律，對古人如此， 對現(xiàn)今學生亦如此。,§2.3 方程的歷史,〖問題2.3〗 1.人們?yōu)榱私鉀Q實際生活中的相關問題，早期形成了許多解方程的 方法，其中較

29、為典型的方法有哪些？ 2. 中國古代數學對“方程”的研究歷史非常悠久，如何理解其含義？ 3. 目前所知世界上最早的不定方程出自于哪個國家？什么著作？ 4. 研究中國古代的“盈不足術”對現(xiàn)今方程與函數的教學有何指導作 用？ 5.試述方程產生的歷史對數學教育的啟示意義。,§2.4 方程的發(fā)展,與代數的其它內容一樣，方程的發(fā)展在很大程度上

30、依賴于符號的創(chuàng)造、使用和推廣?，F(xiàn)在數學中使用的符號幾乎都是十五世紀以后產生的。古代數學主要是由各地、各民族自己的文字語言直接描述客觀現(xiàn)象中的數量關系，這樣也就極大地阻礙了方程的發(fā)展。,§2.4 方程的發(fā)展,一.符號化的嘗試 —— 天元術 ?中國古代算學成就輝煌，而在符號方面則相對落后。但值得我們關注的是，中國古代“設末知數列方程”的思想方法，卻是對代數方程理論發(fā)展的一大貢獻，這個方法在中國被稱為“天元術”。

31、?十三世紀(金元時期)數學家李治 (河北人，1192-1279)，在前人的基 礎上簡化天元術，并整理成系統(tǒng)的“天元術”理論。這種“設末知數列方程”的方法，直到十六世紀才于歐州出現(xiàn)。,§2.4 方程的發(fā)展,二．一元二次方程的來源 ?據考證，古巴比倫的楔形文獻中就記有相當于的一元二次方程的實例和解法。 ?古希臘數學家海倫(Heron，約公元75年)曾給出這樣的問題“給定一正方形，知其面積與周長之和為8

32、96尺(應該是平方尺)，求其一邊。 ?《九章算術》第九章勾股章第二十題也是一個一元二次方程問題。 在阿拉伯人那里，有關一元二次方程的問題逐漸被剝離去了實際的內容，而變成“純數字的游戲”。,§2.4 方程的發(fā)展,三．一元二次方程的解法 1.幾何解法 ?也許是由于一元二次方程問題主要產生于幾何的原因，幾何解法成為古代解一元二次方程最常見的方法。 2.“開帶從平方法”

33、——中國式的“公式法” ?由于中國古代缺乏代數符號，因而沒有現(xiàn)代符號形式上的“公式法”，但對形如x2+bx的數進行開方頗有研究，其結果實質上就是“公式法”，即開帶(有)從(從法)平方法。,§2.4 方程的發(fā)展,?除《九章算術》中記有“開帶從平方法”外，公元三世紀，趙爽在《勾股圓方圖注》對形如-x2+bx=c(b﹥0、c﹥0)用“開帶從平方法”給 出求解的步驟,其結果相當于求根公式。

34、 ?唐代僧人張遂(達開)，法號一行，擅長天文、數學，公元729年著《大衍歷》，在其中用“開帶從平方法”求得方程x2+bx=c(b﹥0、c﹥0) 的一個正根。 ?而后南宋楊輝也給出了求解x2-bx=c(b﹥0、c﹥0)的步驟。,§2.4 方程的發(fā)展,3. 配方法 ?最早的“配方法”很可能是古希臘數學家海倫給出的。因為在他之后大約二百多年(公元三世紀)丟番圖在其《算術》中所作解法與之完全

35、相同。 ?與古希臘“傳統(tǒng)解法”——幾何解法不同，海倫使用幾乎是“純代數” 的方法解形如ax2+bx=c的方程。 ?印度數學家婆什迦羅在前人的基礎上，對一元二次方程的不同“形式” 作了研究，最終給出了(或者說相當于給出了)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0的求根公式。,§2.4 方程的發(fā)展,四. 一元二次方程根與系數的關系 ?說起一元二次方程根與系數的關系，我們自然想到法國數學家佛

36、 蘭西斯(弗朗西瓦)·韋達(F．Vieta，1540～1603)。 ? 1591年著《分析術入門》(也譯作《分析術引論》)，此書一般被 認為是一部最早的符號代數的著作。1615年發(fā)表《方程的認識》 在第十四章中提出四個定理，闡明了方程的根與各項系數之間的關 系。 ?雖然韋達定理家喻戶曉，可韋達對數學更重要的貢獻卻在于符號!

37、 他被認為是“第一個有意識地、系統(tǒng)地使用字母符號的人”。,§2.4 方程的發(fā)展,五. 一元三次方程的歷史 1.一元三次方程的早期探索 ?早在公元前1800年古巴比倫的楔形文獻中，就有三次方程問題的 記錄。當然其解的方法依然是“湊和法”，如解x3 +x2=36，因為 33+32=27+9=36，所以x=3。 ?中國古代數學家在解三次方程的問題時，

38、同樣具有自己的特色,即 沿著“開帶從平方法”的思路，由開立方術引出“開帶從立方法”。 ?北宋年間(公元十一世紀)，賈憲創(chuàng)造了簡潔、程序化的“增乘開方 法”(亦稱“增廣開方法”)。 ?賈憲在解方程時，發(fā)現(xiàn)了關于(a+b)n(n為正整數)展開式的系數規(guī) 律，制作了一張數表，稱作“開方作法本源”，即“賈憲三角形”，又 稱“楊輝三角”。,§2.4 方

39、程的發(fā)展,? 1654年帕斯卡(法Pascal)用所謂的Pascal三角陣得出二項展開式的系數，因此西方把“賈憲三角形”稱為“Pascal三角形(陣)”。 ?在阿拉伯數學中，則把三次方程與圓錐曲線相聯(lián)系。 例如，阿拉伯數學家奧瑪爾·海雅姆(Omar Khayyam，1044～1123)解三次方程x3+Bx=C(B﹥0，C﹥0)就是采用拋物線和圓相交作出的。 ?古代中國人和阿拉伯人，一個從算術（開

40、立方），一個從幾何（圓錐曲線）這兩條不同的路徑走向了相同的結果，真可謂有異曲同工之妙。,§2.4 方程的發(fā)展,2．一元三次方程的公式解 ?十六世紀意大利成立了一個名叫波落那的數學學派，其代表人物 費爾洛(Ferro,又譯弗羅，1465～1526)于1515年(一說1505年)得出了形如x3 +px=q的—元三次方程的根，但沒有公布與眾。 ?布雷西亞青年尼可拉·方丹納(Nicolo．Fontano, 又

41、名塔塔利亞Tartaglia,1500～ 1557)，聽到此事深受鼓舞，決定自己求解此方程。 ? 1530年塔塔利亞對他人提出的兩個一元三次方程的求解問題作了解答,但只給出了答案，沒有公開其解答過程。,§2.4 方程的發(fā)展,?1539年意人利數學家卡丹(G．Cardano,1501～1576年)向塔塔利亞 求教，塔塔利亞答應了他的要求，但條件是不得向任何第三者泄露這個秘密?？ǖち⑾率难院?，終于得到了一份他渴望已久的一

42、元三次方 程解法手稿。 ?1545年卡丹把塔塔利亞的關于一元三次方程的解法在《大術》 (Ars Magna)一書中發(fā)表。 ?解決了一元三次方程的問題之后，解四次方程則變成了輕而易舉的事了。這個工作是由卡丹的學生費拉里(L．Ferrari，意大利，1522～1565年)完成的。,§2.4 方程的發(fā)展,六.方程發(fā)展過程的啟示 1. 教學過程完整化 ?完整的數學活動過程應該包括數學知

43、識內容的來源背景、理論形成和推廣應用這三方面的內容。 2. “數形結合”的啟示 ?從方程發(fā)展的歷史可以看出，數學中的許多代數問題與幾何是緊密相連的，而且一些代數問題本身就來自于幾何。事實上,許多歷史實例就是最自然、最和諧的“數形結合”的范本。 3. 發(fā)散性思維的培養(yǎng) ?前人探索問題的過程中所表現(xiàn)出來的思維多樣性，在如何培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維方面等問題上，為我們提供了豐富的歷史素材。,&

44、#167;2.4 方程的發(fā)展,〖問題1.7〗 1.為什么說一元二次方程來源于實際問題？ 2.阿拉伯數學家海雅姆的一元三次方程的解法給我們帶來什么樣的 啟發(fā)？ 3.在歷史上，一元二次方程主要的解法有哪些？它們各有什么特色？ 對中學一元二次方程的教學各有什么啟示意義？ 4.試從方程發(fā)展的歷史來分析，強調數學知識發(fā)生、發(fā)展的背景, 對數學教學的重要意義。