第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)

1、111.5函數(shù)的連續(xù)性客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運(yùn)動(dòng)變化的，而且其運(yùn)動(dòng)變化的過程往往是連綿不斷的，比如日月行空、歲月流逝、植物生長、物種變化等，這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的方面的反映就是函數(shù)的連續(xù)性.本節(jié)將以極限為基礎(chǔ)，介紹函數(shù)連續(xù)性的概念、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及一些性質(zhì).一、函數(shù)連續(xù)性的概念設(shè)變量從初值變到終值終值與初值的差叫做變量的增量(或該變量)記x1x2x21xx?x作，即x?21xxx???增量可以是正的也可以是負(fù)的x?一般

2、地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一個(gè)鄰域內(nèi)是有定義的當(dāng)自變量x在()yfx?0x這鄰域內(nèi)從變到時(shí)函數(shù)值y相應(yīng)地從變到因此函數(shù)0x0xx??0()fx0()fxx??的對(duì)應(yīng)增量為y00()()yfxxfx?????如圖1.15所示.圖1.1533，2sincos()22xxx????因?yàn)?，而是時(shí)的無窮小由無窮小的性質(zhì)|cos()|12xx???2sin2x?0x??是時(shí)的無窮小即.故函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)2sincos()22xxx???0x??0(0)yx?

3、???x由的任意性函數(shù)在內(nèi)連續(xù).xsinyx?()????同理可證函數(shù)在內(nèi)是連續(xù)的(證明留給讀者)cosyx?()????二、函數(shù)的間斷點(diǎn)由函數(shù)連續(xù)的定義可知函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:()fx0x（1）函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義()fx0x（2）存在0lim()xxfx?（3）00lim()()xxfxfx??如果上述三個(gè)條件有一個(gè)不滿足那么函數(shù)就在點(diǎn)處不連續(xù)也稱函數(shù)()fx0x就在點(diǎn)處間斷.我們可以得到函數(shù)間斷點(diǎn)的定義:

4、()fx0x【定義3】設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義（在點(diǎn)處可以無定義），如果()fx0x0x函數(shù)有下列三種情形之一：()fx（1）在點(diǎn)無定義；0x（2）在處有定義，但不存在；0x0lim()xxfx?（3）在處有定義且存在，但0x0lim()xxfx?00lim()()xxfxfx??則函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，點(diǎn)稱為函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)（或不連續(xù)點(diǎn)）()fx0x0x()fx設(shè)為函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)，若左極限和右極限都存在，則稱為0x()fx0()f