河海大學(xué)線性代數(shù)試卷

1、12007年河海大學(xué)年河海大學(xué)線性代數(shù)性代數(shù)試卷12007年11月一填空題（每小題3分，共15分）1設(shè)，則24。???????????????0974863052001000A?A2設(shè)為三階方陣，且，則500。A2?A???|723|1AA3設(shè)是階矩陣，的秩，則齊次線性方程組Anm?A)()(nrmrrAr???的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)是nr。??Ax4設(shè)3階方陣的特征值是1，2，3，則的伴隨矩陣的特征值是AA62AA?38，22，1

2、8。5設(shè)二次型，則二次型的系數(shù)矩322123222132142532)(xxxxxxxxxxf?????f陣為??????????????520231012二選擇題（每小題3分，共15分）1設(shè)是33矩陣，且，又，A???2?Ar???????????504030201B則（B）。???ABBrTA1；B.2；C.3；D.不確定2.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)則下列向量組中線性無(wú)關(guān)的是(D)。321???A；133221?????????B；2132

3、3212???????????C；3213213215532232???????????????D321321321233232???????????????3設(shè)是3階方陣，且，是的伴隨矩陣，則（A）。A1?AAAA；B.；??AA???AA?C.；D??1??AA??TAA?4設(shè)，則（C）。111112111111111????????????nnnDn?nDA；B；!n2)1(?nnC；D!)1(?n2)1(?nn5設(shè)都是階方陣，且

4、與相似則（D）。BAnABA；B與有相同的特征值和特征向量；BEAE?????ABC與都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣；ABD對(duì)任意常數(shù)與相似tAtE?BtE?三計(jì)算題（共54分）1（本題8分）計(jì)算行列式：。64164127931842111114?D解：D4=====126326701583032101111632671583321241206203214212623???????????????????????00000011122222222

5、2AI?取特征向量為ξ2=（1，1，0），ξ3=（1，1，0），593:1221)2(11或即為的特征值為則的特征值為則的特征值設(shè)iiiAEAA????????5（本題14分）設(shè))4211(1???)2130(2??)14703(3??)10512(4??(1)求向量組的一組極大線性無(wú)關(guān)組；4321????(2)求一組與向量組的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)的單位正交向量組。4321????（1）??????????????????????????

6、???????????????????00000000111023012220111033302301101424571210313301取即為的極大無(wú)關(guān)組。21??4321????（2），)4211(11?????)224222221221(1???)168737(221)4211(227)2130(][][1111222??????????????569812??則即為單位正交向量組。21??四證明題（共10分）1（本題5分）設(shè)線性

7、無(wú)關(guān)，線性相關(guān)，s???21?????21s?證明：可由唯一地線性表示。?s???21?因?yàn)棣?，α2，…，β線性相關(guān)，所以在一組不全為0的數(shù)λ1，…，λm，λ，使得：λ1α1λ2α2…λmαmλβ=0下證λ≠0，假設(shè)λ=0，則λ1，λ2，…，λm不全為0，且λ1α1λ2α2…λmαmλβ=0于是向量組α1，α2，…，αm線性相關(guān)，與已知矛盾，因此λ≠0從而：，即β由α1，α2，…，αm線性表示mm???????)()(11??????

8、??下證表示法的唯一性若β可由α1，α2，…，αm線性表示為兩種形式β=k1α1k2α2…kmαmβ=u1α1u2α2…umαm兩式相減得：（k1u1）α1…（kmum）αm=0∵α1，…，αm線性無(wú)關(guān)，∴k1=u1(i=12…m)故表示法唯一2（本題5分）設(shè)方陣滿(mǎn)足：(1)；(2)；(3)，nAAAT?AA?20?A證明：是正定矩陣。A證：∵AT=A，即A為實(shí)對(duì)矩陣∵A2A=0∴λ2λ=0設(shè)λ為A的任一特征根（λ1）λ=0∵∴λ≠00