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1、12007年河海大學(xué)年河海大學(xué)線性代數(shù)性代數(shù)試卷12007年11月一填空題(每小題3分,共15分)1設(shè),則24。???????????????0974863052001000A?A2設(shè)為三階方陣,且,則500。A2?A???|723|1AA3設(shè)是階矩陣,的秩,則齊次線性方程組Anm?A)()(nrmrrAr???的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)是nr。??Ax4設(shè)3階方陣的特征值是1,2,3,則的伴隨矩陣的特征值是AA62AA?38,22,1
2、8。5設(shè)二次型,則二次型的系數(shù)矩322123222132142532)(xxxxxxxxxxf?????f陣為??????????????520231012二選擇題(每小題3分,共15分)1設(shè)是33矩陣,且,又,A???2?Ar???????????504030201B則(B)。???ABBrTA1;B.2;C.3;D.不確定2.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)則下列向量組中線性無(wú)關(guān)的是(D)。321???A;133221?????????B;2132
3、3212???????????C;3213213215532232???????????????D321321321233232???????????????3設(shè)是3階方陣,且,是的伴隨矩陣,則(A)。A1?AAAA;B.;??AA???AA?C.;D??1??AA??TAA?4設(shè),則(C)。111112111111111????????????nnnDn?nDA;B;!n2)1(?nnC;D!)1(?n2)1(?nn5設(shè)都是階方陣,且
4、與相似則(D)。BAnABA;B與有相同的特征值和特征向量;BEAE?????ABC與都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣;ABD對(duì)任意常數(shù)與相似tAtE?BtE?三計(jì)算題(共54分)1(本題8分)計(jì)算行列式:。64164127931842111114?D解:D4=====126326701583032101111632671583321241206203214212623???????????????????????00000011122222222
5、2AI?取特征向量為ξ2=(1,1,0),ξ3=(1,1,0),593:1221)2(11或即為的特征值為則的特征值為則的特征值設(shè)iiiAEAA????????5(本題14分)設(shè))4211(1???)2130(2??)14703(3??)10512(4??(1)求向量組的一組極大線性無(wú)關(guān)組;4321????(2)求一組與向量組的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)的單位正交向量組。4321????(1)??????????????????????????
6、???????????????????00000000111023012220111033302301101424571210313301取即為的極大無(wú)關(guān)組。21??4321????(2),)4211(11?????)224222221221(1???)168737(221)4211(227)2130(][][1111222??????????????569812??則即為單位正交向量組。21??四證明題(共10分)1(本題5分)設(shè)線性
7、無(wú)關(guān),線性相關(guān),s???21?????21s?證明:可由唯一地線性表示。?s???21?因?yàn)棣?,α2,…,β線性相關(guān),所以在一組不全為0的數(shù)λ1,…,λm,λ,使得:λ1α1λ2α2…λmαmλβ=0下證λ≠0,假設(shè)λ=0,則λ1,λ2,…,λm不全為0,且λ1α1λ2α2…λmαmλβ=0于是向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān),與已知矛盾,因此λ≠0從而:,即β由α1,α2,…,αm線性表示mm???????)()(11??????
8、??下證表示法的唯一性若β可由α1,α2,…,αm線性表示為兩種形式β=k1α1k2α2…kmαmβ=u1α1u2α2…umαm兩式相減得:(k1u1)α1…(kmum)αm=0∵α1,…,αm線性無(wú)關(guān),∴k1=u1(i=12…m)故表示法唯一2(本題5分)設(shè)方陣滿(mǎn)足:(1);(2);(3),nAAAT?AA?20?A證明:是正定矩陣。A證:∵AT=A,即A為實(shí)對(duì)矩陣∵A2A=0∴λ2λ=0設(shè)λ為A的任一特征根(λ1)λ=0∵∴λ≠00
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