what's-the-mathes

1、最后一課,一、什么是數(shù)學,,世界上任何客觀存在都有其“數(shù)”與“形”的屬性特征，并且一切事物都發(fā)生變化，遵循量變到質(zhì)變的規(guī)律。,,,“數(shù)學是打開科學大門的鑰匙。”錢學森先生認為數(shù)學是社會科學和自然科學的基礎(chǔ)。哲學是社會科學和自然科學的概括。 齊民友先生認為：“數(shù)學的生長像竹子，根在大地，然后自己一節(jié)一節(jié)向上長，間或爆出新筍，長成新竹。若干年后，竹子開花，結(jié)成種子，重回大地?！?1994年高考大綱：“要求具有一定的數(shù)學視野，認識數(shù)學的科

2、學價值與人文價值，崇尚數(shù)學的理性精神，形成審慎的思維習慣，體會數(shù)學的美學意義?！泵绹鴳脭?shù)學家、數(shù)學史家克萊因 ：“如果美的組成和作品的特征包括洞察力和想象力，對稱性和比例、簡潔，以及精確地適應達到目的的手段，那么數(shù)學就是一門具有其特有完美性的?！本褪钦f，數(shù)學是科學也是藝術(shù)。,恩格斯的《自然辯證法》 ：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的，簡單地說，是研究數(shù)和形的科學?！?“我們的幾何學是從空間關(guān)系出發(fā)，我們的算術(shù)和代數(shù)學是從

3、數(shù)量出發(fā)。”,數(shù)學是一門思維科學。它是思維的體操，在訓練人的思維能力方面是其他任何學科無法比擬的。它隱藏自然和生活的背后，是一種看不見的客觀存在，亦或是人類社會與自然規(guī)律的抽象表達，是一種超乎自然超越物質(zhì)的智慧之花，是人類思維的一種方式。,,如同音樂是聽覺之美，繪畫是視覺之美，而數(shù)學是思維之美。它是自然學科的基礎(chǔ)，是物理化學等眾多學科依賴的工具。數(shù)學每前進一小步，科學就前進一大步。,,,第一階段 數(shù)學萌芽時期（遠古----

4、-公元前5世紀）：算術(shù)幾何形成時期，但它們還未分開，彼此交織在一起，沒有形成完整、嚴格的體系，缺乏邏輯性，基本上看不到命題證明、演繹、推理。,第二階段 常量（初等）數(shù)學時期（公元前5世紀------17世紀中葉）：數(shù)學逐步形成了一門獨立的、演繹的學科。算術(shù)、初等幾何、初等代數(shù)、三角學都已成為獨立的分支。 兩大巨著：《幾何原本》《九章算術(shù)》 ——東西

5、輝映，淵源流長。,二、數(shù)學發(fā)展簡史：,,,第三階段 變量（高等）數(shù)學時期（17世紀中葉------19世紀中葉）：變量與函數(shù)的概念進入數(shù)學。解析幾何、微積分、概率論、射影幾何形成。,第四階段 近代數(shù)學時期（19世紀中葉------二次大戰(zhàn)）：非歐幾里得幾何、抽象代數(shù)、復變函數(shù)論、集合論、微分幾何、微分方程論、積分方程論、點集拓撲、組合拓撲……。,,,第五階段 現(xiàn)代數(shù)學時期（20世紀40年代以來）：（原子能的

6、應用，電子計算機的發(fā)明，空間技術(shù)的興起）廣義函數(shù)論、整體微分幾何、非標準分析、微分拓撲、代數(shù)拓撲、代數(shù)幾何、同調(diào)代數(shù)、模糊數(shù)學、計算數(shù)學、分形幾何……,,,從常量數(shù)學到變量數(shù)學,常量數(shù)學應用的局限性 建立了日心學理論之后，17世紀的人們面臨如何改進計算行星位置，如何解釋地球上靜止的物體保持不動，下降的物體還落在地球上等問題，這類問題的核心是物體的運動。帶有運動特征的問題，初等數(shù)學（算術(shù)，初等代數(shù)，初等幾何，三角）無能為力。,,,數(shù)學基

7、礎(chǔ)是解析幾何，標志為微積分解析幾何學是借助坐標系，用代數(shù)方法研究幾何對象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門幾何學分支，也叫坐標幾何。由法國數(shù)學家笛卡兒和費爾馬等人創(chuàng)建（1637年）。,,,變量數(shù)學產(chǎn)生的過程,三、初等數(shù)學與高等數(shù)學的區(qū)別,17世紀以前的數(shù)學稱為初等數(shù)學，研究的是常量間的代數(shù)運算和孤立的、不變的幾何形體內(nèi)部及相互間的關(guān)系。,1637年笛卡兒引入了坐標系，溝通了數(shù)與形之間的關(guān)系，這時數(shù)學研究的是變量和不規(guī)則的幾何形體。微積分的創(chuàng)立，使

8、數(shù)學的發(fā)展出現(xiàn)了一日千里之勢，形成了內(nèi)容豐富的數(shù)學分析、高等代數(shù)、高等幾何三大分支。相對于初等數(shù)學，它們稱為高等數(shù)學。,,,初等數(shù)學主要采用形式邏輯法，靜止地、孤立地、一個一個地 進行研究； 高等數(shù)學則是以運動的、變化的觀點去研究問題。,,,,恩格斯指出：“在一切理 論成就中，未必再有什么象 17世紀下半葉微

9、積分學的發(fā) 明那樣被看作人類精神的最 高勝利了?！彼€說：“只有微積分學才能使自然科學有可能用數(shù)學來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程、運動。”,,,牛頓（Isaac Newtons，1643－1727）,,牛頓和他的《自然哲學的數(shù)學原理》,1687年7月5日用拉丁文發(fā)表Philosophiae Naturalis Princi

10、pia Mathematica （mathematical principles of natural philosophy）-----------------個人智慧的偉大結(jié)晶“我不知道世人對我怎么看；但在我自己看來就好像只是一個在海濱嬉戲的孩子，不時地為比別人找到一塊光滑的卵石或一只更美麗的貝殼而感到高興，而我面前的浩瀚的真理海洋，卻還完全是個謎?！?萊布尼茨(Leibniz，1646－1716),萊布尼茨的多才多藝在歷史上很少

11、有人能和他相比，他的研究領(lǐng)域及其成果遍及數(shù)學、物理學、力學、邏輯學、生物學、化學、地理學、解剖學、動物學、植物學、氣體學、航海學、地質(zhì)學、語言學、法學、哲學、歷史和外交等等。,四 再說無窮大,,為科學而瘋的人－康托爾,康托爾 （Cantor ，1845 －1918）集合論創(chuàng)始人集合論是現(xiàn)代數(shù)學中重要的基礎(chǔ)理論,“無窮集是具有這樣異常性質(zhì)的集合，即它的全體可以與它的部份一樣多”?！?康托爾把元素間能建立一一對應的集合叫做它們元

12、素一樣的多。 對“無窮多”比較大小。 創(chuàng)造了“超限數(shù)”的概念，建立了超窮集合論。,,康托爾的貢獻,可數(shù)集,1874年，康托發(fā)表了《切代數(shù)實數(shù)的一個性質(zhì)》一文。該文提出了"可數(shù)集"概念,可數(shù)集的定義：,與自然數(shù)集N對等的集合稱為可數(shù)集或可列集.,1234 … n…,2468 … 2n…,? ? ? ? … ? …,注：A可數(shù)當且僅當A可以寫成無窮序列的形式

13、 {a1, a2, a3, …},(1)自然數(shù)與正偶數(shù)一樣多,1234 … n…,1357 … 2n-1…,? ? ? ? … ? …,(2)自然數(shù)與正奇數(shù)一樣多,是否所有的“無窮大”都相等？是否所有的無窮集合都是可數(shù)集？（可以被編號排列？）,結(jié)論: (0,1)實數(shù)不可以被編號（不可列） 實數(shù)的數(shù)量比整數(shù)的數(shù)量多！(0,1)內(nèi)的實數(shù)與（-∞

14、，+∞）內(nèi)的實數(shù)一樣多任何兩條線段上的點都是一樣多的,,,,,線段a上的點與線段b上的點一樣多,,,圓O1上的點與圓O2上的點一樣多,（0,1）與（0,+∞）的點一樣多,,無窮是一個永恒的謎. 無窮既是人類最偉大的朋友，也是人類心靈寧靜的最大敵人 ---希爾伯特,踏入二十世紀，康托的理論終于獲得承認,希爾伯特1862 ? 1943,“沒有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂園中趕出去” ----希爾伯特,“數(shù)學思想最驚人的產(chǎn)物，在純

15、粹理性的范疇中人類活動最美的表現(xiàn)之一” “數(shù)學精神最令人驚羨的花朵，人類理智活動最漂亮的成果”． ----希爾伯特,康托爾40歲時患了嚴重的憂郁癥，極度沮喪，神態(tài)不安。在以后的幾十年里，精神病時時發(fā)作，經(jīng)常住到精神病院的療養(yǎng)所去 他變得很自卑，甚至懷疑自己的工作是否可靠。他請求哈勒大學當局把他的數(shù)學教授職位

16、改為哲學教授職位.,在精神病發(fā)作的間歇階段，康托爾仍然頑強地堅持集合論的研究。他在集合論方面許多非常出色的成果，都是在精神病發(fā)作的間歇時期獲得的。 1918年，在哈勒大學附屬精神病院去世。,“可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作” ---羅素1903年，羅素出版了《數(shù)學的原理》一書書中提到著名的羅素悖論,羅素（1872-1970）,,,羅素悖論的通俗化形式：“理

17、發(fā)師悖論”： 一天，薩維爾村理發(fā)師掛出一塊招牌：“我給那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)”問：“這位理發(fā)師的頭發(fā)由誰理呢?”,羅素悖論的通俗化形式：“說謊者悖論”：一個克里特人說“所有克里特人說的每一句話都是謊話”。試問這句話是真還是假?,第三次數(shù)學危機,,,俗話說：“學問、學問，有學有問”，鄭扳橋說：“學問二字要拆開看，學是學，問是問，今人有學而無問，雖讀書萬卷，只是一條鈍漢爾”。,暖09-1薛英杰：“……解決數(shù)學問題，并不全是我們眼