數(shù)學(xué)畢業(yè)論文---求極限的方法

1、<p><b>　　求極限的方法</b></p><p>　　摘 要：本文系統(tǒng)地介紹了利用兩個(gè)重要極限、無(wú)窮小量代換、洛比達(dá)法則、泰勒公式、定積分等求極限的方法，并結(jié)合具體的例子，指出了在解題過(guò)程中常遇見(jiàn)的一些問(wèn)題。</p><p>　　關(guān)鍵詞：極限、方法、類型、洛比達(dá)法則、定積分</p><p><b>　　一 引言&

2、lt;/b></p><p>　　高等數(shù)學(xué)是以函數(shù)為研究對(duì)象，以極限理論和極限方法為基本方法，以微積分學(xué)為主要內(nèi)容的一門學(xué)科，極限理論和極限方法在這門課程中占有極其重要的地位。高等數(shù)學(xué)許多深層次的理論及其應(yīng)用都是極限的延拓和深化，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微積分等等都是由極限定義的，離開(kāi)了極限的思想高等數(shù)學(xué)就失去了基礎(chǔ)失去了價(jià)值，因此極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算。由于極限定義的高度抽象使我們很難用極限定義本身去求極限，

3、又由于極限運(yùn)算分布于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的始終，許多重要的概念是由極限定義的。極限知識(shí)是研究導(dǎo)數(shù)、各種積分、級(jí)數(shù)等的基本工具。反過(guò)來(lái)，我們也可以利用這些概念來(lái)求一些極限，所以運(yùn)算方法繁多。針對(duì)這種情況，本文作者通過(guò)立體歸納總結(jié)出了如下常見(jiàn)的求極限的方法。 </p><p><b>　　二 具體方法</b></p><p>　?、崩煤瘮?shù)極限的四則運(yùn)算法則來(lái)求極限</p&

4、gt;<p>　　定理1①：若極限和都存在，則函數(shù)， </p><p>　　當(dāng)時(shí)也存在且 </p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　又若，則在時(shí)也存在，且有</p><p>　　利用極限

5、的四則運(yùn)算法則求極限，條件是每項(xiàng)或每個(gè)因子極限存在，一般所給的變量都不滿足這個(gè)條件，如、等情況，都不能直接用四則運(yùn)算法則，必須要對(duì)變量進(jìn)行變形，設(shè)法消去分子、分母中的零因子，在變形時(shí)，要熟練掌握飲因式分解、有理化運(yùn)算等恒等變形。</p><p><b>　　例1：求</b></p><p><b>　　解：原式=</b></p>&

6、lt;p>　?、灿脙蓚€(gè)重要的極限來(lái)求函數(shù)的極限</p><p><b>　?、倮脕?lái)求極限</b></p><p><b>　　的擴(kuò)展形為：</b></p><p><b>　　令，當(dāng)或時(shí)，則有</b></p><p><b>　　或</b><

7、/p><p><b>　　例2： </b></p><p>　　解：令t=.則sinx=sin( t)=sint, 且當(dāng)時(shí) </p><p><b>　　故 </b></p><p><b>　　例3：求</b></p><p><b>　　解：原

8、式=</b></p><p><b>　?、诶脕?lái)求極限</b></p><p>　　的另一種形式為.事實(shí)上，令所以</p><p><b>　　例4: 求的極限</b></p><p><b>　　解：原式=</b></p><p>　　利

9、用這兩個(gè)重要極限來(lái)求函數(shù)的極限時(shí)要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過(guò)變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)才能夠運(yùn)用此方法來(lái)求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。</p><p>　　⒊利用等價(jià)無(wú)窮小量代換來(lái)求極限</p><p>　　所謂等價(jià)無(wú)窮小量即稱與是時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小量，記作</p><p>　　定理2②：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，</p><p

10、><b>　　且有</b></p><p><b>　　若則</b></p><p><b>　　若則</b></p><p><b>　　證明：①</b></p><p>　?、诳深愃谱C明，在此就不在詳細(xì)證明了！</p><p&

11、gt;　　由該定理就可利用等價(jià)無(wú)窮小量代換來(lái)求某些函數(shù)的極限</p><p><b>　　例5：求的極限</b></p><p><b>　　解：由 而；</b></p><p><b>　　（）；（）</b></p><p><b>　　故有= </b>

12、</p><p>　　注：由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的</p><p>　　等價(jià)無(wú)窮小量，如：由于，故有又由于故有arctanx，(x).</p><p>　　另注：在利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限時(shí)，應(yīng)該注意：只有對(duì)所求極限中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)代換，而對(duì)極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。如上式中，若因有tanx

13、，而推出 = 則得到的結(jié)果是錯(cuò)誤的。</p><p>　?、?利迫斂性來(lái)求極限</p><p>　　定理3③：設(shè)f(x)= g(x)=A,且在某內(nèi)有f(x)h(x)g(x),</p><p><b>　　則h(x)=A</b></p><p><b>　　例6：求x的極限</b>

14、</p><p>　　解：1x<1-x. 且 由迫斂性知 </p><p><b>　　x=1</b></p><p>　　做此類型題目的關(guān)鍵在于找出大于已知函數(shù)的函數(shù)和小于已知函數(shù)的函數(shù)，并且所找出的兩個(gè)函數(shù)必須要收斂于同一個(gè)極限。</p><p>　?、道煤瘮?shù)的

15、連續(xù)性求極限 </p><p>　　利用函數(shù)的連續(xù)性求極限包括：如函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則及若</p><p>　　且f(u)在點(diǎn)a連續(xù)，則</p><p><b>　　例7：求的極限</b></p><p>　　解：由于及函數(shù)在處連續(xù)，故==。</p><p>　?、独寐灞冗_(dá)法則求函數(shù)的極限</

16、p><p>　　在前面的敘述中，我們已經(jīng)提到了利用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)求函數(shù)的極限，在此筆者敘述一種牽涉到無(wú)窮?。ù螅┝康谋容^的求極限的方法。我們把兩個(gè)無(wú)窮小量或兩個(gè)無(wú)窮大量的比的極限統(tǒng)稱為不定式極限，分別記作型或型的不定式極限?，F(xiàn)在我們將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限，這個(gè)方法通常稱為洛比達(dá)法則。</p><p>　　下面就給出不定式極限的求法。</p><p>　　對(duì)于型不定

17、式極限，可根據(jù)以下定理來(lái)求出函數(shù)的極限</p><p>　　定理4④：若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足：</p><p><b>　?、?=0。</b></p><p>　?、谠邳c(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且</p><p>　?、?A。（A可為實(shí)數(shù)，也可為或）</p><p><b>

18、　　則==A。</b></p><p>　　注：此定理的證明可利用柯西中值定理，在此，筆者就不一一贅述了。</p><p><b>　　例8：求</b></p><p><b>　　解：容易檢驗(yàn)</b></p><p>　　f(x)=1+與g(x)=在的鄰域里滿足定理的條件①和②，又因=

19、= -</p><p>　　故由洛比達(dá)法則求得，</p><p><b>　　==</b></p><p>　　在此類題目中，如果仍是型的不定式極限，只要有可能，我們可再次利用洛比達(dá)法則，即考察極限是否存在。當(dāng)然，這是和在的某鄰域內(nèi)必須滿足上述定理的條件。</p><p><b>　　例9：求</b>

20、;</p><p>　　解：利用 （），則得</p><p><b>　　原式===</b></p><p>　　在利用洛比達(dá)法則求極限時(shí)，為使計(jì)算更加快捷減少運(yùn)算中的諸多不便，可用適當(dāng)?shù)拇鷵Q，如下例，</p><p><b>　　例10：求</b></p><p>　　解：

21、這是型不定式極限，可直接運(yùn)用洛比達(dá)法則求解，但是比較麻煩。如作適當(dāng)?shù)淖儞Q，計(jì)算上就會(huì)更方便些，故</p><p><b>　　令當(dāng)時(shí)有，于是有</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　(2)型不定式極限</b></p><p>　　若滿足如下

22、定理的條件，即可由如下定理計(jì)算出其極限。</p><p>　　定理5⑤：若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足：</p><p><b>　?、?=</b></p><p>　?、谠邳c(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且</p><p>　?、?A，（A可為實(shí)數(shù)，也可為或）。</p><p><b>

23、　　則==A。</b></p><p>　　此定理可用柯西中值定理來(lái)證明，在此，筆者就不一一贅述了。</p><p><b>　　例11：求</b></p><p><b>　　解：由定理4得，</b></p><p>　　注1：若不存在，并不能說(shuō)明不存在。</p><

24、;p>　　注2：不能對(duì)任何比式極限都按洛比達(dá)法則來(lái)求解。首先必須注意它是不是不定式極限；其次是觀察它是否滿足洛比達(dá)法則的其它條件。</p><p><b>　　下面這個(gè)簡(jiǎn)單的極限</b></p><p><b>　　=1 </b></p><p>　　雖然是型的，但若不顧條件隨便使用洛比達(dá)法則：</p>

25、<p>　　=就會(huì)因右式的極限不存在而推出原式的極限不存在這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論。</p><p>　　(3)其它類型不定式極限</p><p>　　不定式極限還有，，，，等類型。這些類型經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變換，都可以化為型和型的不定式極限。</p><p><b>　　例12：求</b></p><p>　　解：這是一個(gè)

26、型的不定式極限，作恒等變形=，將它轉(zhuǎn)化為型的不定式極限，并用洛比達(dá)法則得到</p><p><b>　　===</b></p><p><b>　　例13：求</b></p><p>　　解：這是一個(gè)型的不定式極限，作恒等變形</p><p><b>　　=</b></p

27、><p>　　其指數(shù)部分的極限是型的不定式極限，可先求得==</p><p><b>　　從而得=</b></p><p>　　例14: 求（k為常數(shù)）</p><p>　　解：這是一個(gè)型的不定式極限，按上例變形的方法，先求型的極限，</p><p><b>　　==</b>&l

28、t;/p><p>　　然后得到 =（）</p><p>　　當(dāng)=0時(shí)上面的結(jié)果仍成立。</p><p><b>　　例15: 求</b></p><p>　　解：這是一個(gè)型的不定式極限，類似地，先求其對(duì)數(shù)的極限（型）</p><p><b>　　==1</b></p&g

29、t;<p><b>　　于是有=</b></p><p>　?、防锰├展角髽O限</p><p>　　由于泰勒公式的特殊形式，對(duì)于求解某些函數(shù)的極限有簡(jiǎn)化求解過(guò)程的作用。 </p><p><b>　　例16：求</b></p><p>　　解：本題可用洛比達(dá)法則來(lái)求解，但是運(yùn)算過(guò)程

30、比較繁瑣，在這里可用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子， </p><p><b>　?。ㄈ=4）</b></p><p>　　cosx=1-++()</p><p><b>　　=1-+</b></p><p><b>　　cosx-=-()&l

31、t;/b></p><p><b>　　因而求得=</b></p><p>　?、咐梦⒎种兄刀ɡ砗头e分中值定理求極限</p><p><b>　　例17：求的極限 </b></p><p><b>　　解：</b></p><p><b&g

32、t;　　由微分中值定理得，</b></p><p><b>　?。ń橛谂c之間）</b></p><p><b>　　原式=</b></p><p><b>　　例18：求的極限</b></p><p><b>　　解：</b></p>

33、;<p><b>　　由微分中值定理得，</b></p><p><b>　?。ń橛谂c之間）</b></p><p><b>　　原式=</b></p><p><b>　　⒐利用定積分求極限</b></p><p><b>　　例

34、19：求</b></p><p>　　解：把此極限式化為某個(gè)積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計(jì)算計(jì)算定積分，為此作如下變形：</p><p>　　不難看出，其中的和式是函數(shù)發(fā)在區(qū)間上的一個(gè)積分和。（這里所取的是等分分割， （）， 所以</p><p>　　當(dāng)然，也可把J看作 在上的定積分，同樣有</p><p><b>　　三

35、總結(jié)</b></p><p>　　以上方法是在高等數(shù)學(xué)里求解極限的重要方法。在做求解極限的題目時(shí)，僅僅掌握以上方法的而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細(xì)心分析仔細(xì)甄選，選擇出適當(dāng)?shù)姆椒ā＿@樣不僅準(zhǔn)確率更高，而且會(huì)省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。這就要求學(xué)習(xí)者要吃透其精髓，明了其道理，體會(huì)出做題的竅門。達(dá)到這樣的境界非一日之功，必須要多做題善于總結(jié)，日積月累，定會(huì)熟能

36、生巧，在做題時(shí)得心應(yīng)手。</p><p>　　注釋：①②③④⑤，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，《數(shù)學(xué)分析》，高等教育出版社，2001年6月第3版，第49，62，49，127，128頁(yè)。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，《數(shù)學(xué)分析》，高等教育出版社，2001年6月第3版</p><p

37、>　　陳傳璋，朱學(xué)炎等，《數(shù)學(xué)分析》，復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社</p><p>　　郝涌，盧士堂等，《數(shù)學(xué)考研精解》，華中理工大學(xué)出版社</p><p>　　The Methods of Asking Limits</p><p>　　Abstract: The paper represents systematically the methods of

38、 asking the limits by using the two important limits, the infinitesimal quantities substitution, L’Hospital rule, Taylor formula and the definite integral, etc. And the author also points out some problems in the course