求極限方法

1、求極限方法1.利用極限的四則運(yùn)算法則（只適用于有限項(xiàng)數(shù)）：令加減：數(shù)乘：（其中c是一個(gè)常數(shù)）乘除：(其中B≠0)冪運(yùn)算：極限四則運(yùn)算法則的條件是充分而非必要的，因此，利用極限四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí)，必須對(duì)所給的函數(shù)逐一進(jìn)行驗(yàn)證它是否滿(mǎn)足極限四則運(yùn)算法則條件，滿(mǎn)足條件者。方能利用極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行求之。不滿(mǎn)足條件者，不能直接利用極限四則運(yùn)算法則求之。但是，井非不滿(mǎn)足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒(méi)有極限，而是需將函數(shù)進(jìn)行恒等變形，使其符

2、合條件后，再利用極限四則運(yùn)算法則求之。而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)，通常運(yùn)用一些技巧如拆項(xiàng)、分子分母同時(shí)約去零因子、分子分母有理化、通分、變量替換等等。2.利用洛必達(dá)法則洛必達(dá)(LHopital)法則是在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法.簡(jiǎn)單講就是，在求一個(gè)含分式的函數(shù)的極限時(shí)，分別對(duì)分子和分母求導(dǎo)，在求極限，和原函數(shù)的極限是一樣的。一般用在求導(dǎo)后為零比零或無(wú)窮比無(wú)窮的類(lèi)型。利用洛必達(dá)求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：設(shè)函數(shù)f(

3、x)和F(x)滿(mǎn)足下列條件：（1）x→a時(shí)limf(x)=0limF(x)=0（2）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)f(x)與F(x)都可導(dǎo)且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于0（3）x→a時(shí)lim(f(x)F(x))存在或?yàn)闊o(wú)窮大則x→a時(shí)lim(f(x)F(x))=lim(f(x)F(x))3.利用兩個(gè)重要極限：1、2、或應(yīng)用第一重要極限時(shí)，必須同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：分子、分母為無(wú)窮小，即極限為0；○1②分子上取正弦的角必須與分母一樣。應(yīng)用第二重要極限時(shí)，必須同

4、時(shí)滿(mǎn)足四個(gè)條件：①帶有“1”；②中間是“”號(hào)；③“”號(hào)后面跟無(wú)窮小量；④指數(shù)和“”號(hào)后面的數(shù)要互為倒數(shù)。4.利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理利用此定理求函數(shù)的極限時(shí)，一般只在以乘除形式出現(xiàn)時(shí)使用。若以和或差形式出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榻?jīng)此代換后，往往會(huì)改變無(wú)窮小之比的階數(shù)。將分式進(jìn)行因式分解10.利用泰勒公式求極限泰勒公式是將一個(gè)在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x)利用關(guān)于(xx0)的n次多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)的方法公式：（其中0!=1表示f(x)

5、的n階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱(chēng)為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒展開(kāi)式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項(xiàng)，是(xx0)n的高階無(wú)窮小，及Rn(x)為無(wú)窮小的余項(xiàng)。）當(dāng)xo=0，余項(xiàng)為佩亞諾余項(xiàng)（）時(shí)，公式化簡(jiǎn)為：(n)2(0)(0)(0)(x)(0)....(x)1!2!!nnfffffxxxon??????例：求240cos2limxxexx???由于：24241()2!xxexox????244cos1()2!4!xxxox????故：（注

6、：由于無(wú)窮小，故24444007()cos2712limlim12xxxxoxexxx???????4()ox≈0）444()()()oxoxox??介紹Rn(x)的另一種表達(dá)（其中，θ∈(01)，p為任意正實(shí)數(shù)。（注意到p=n1與p=1分別對(duì)應(yīng)拉格朗日余項(xiàng)與柯西余項(xiàng)））11.換元法，并注意新元在極限中趨向于哪個(gè)數(shù)12.夾逼法求極限F(x)與G(x)在Xo連續(xù)且存在相同的極限A，即x→Xo時(shí)limF(x)=limG(x)=A則若有函數(shù)f