畢業(yè)論文--求函數(shù)極限的若干方法

1、<p>　　學(xué)號：2008210929</p><p><b>　　哈爾濱師范大學(xué)</b></p><p><b>　　學(xué)士學(xué)位論文</b></p><p>　　題 目 求極限的若干方法</p><p>　　學(xué) 生 范秀龍</p><p>　　指

2、導(dǎo)教師 孫玉莉 講師</p><p>　　年 級 2008級</p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</p><p>　　系 別 數(shù)學(xué)系</p><p>　　學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院</p><p>　　學(xué) 士 學(xué) 位 論 文</p><p>　　題

3、 目 求極限的若干方法</p><p>　　學(xué) 生 范秀龍</p><p>　　指導(dǎo)教師 孫玉莉</p><p>　　年 級 2008級</p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</p><p>　　系 別 數(shù)學(xué)系</p><p>　　學(xué)

4、 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院</p><p><b>　　哈爾濱師范大學(xué)</b></p><p><b>　　2012年4月</b></p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要1</b></p><

5、p><b>　　關(guān)鍵詞1</b></p><p>　　一、函數(shù)極限的定義性質(zhì)及作用1</p><p>　　二、函數(shù)極限的計(jì)算及多種求法2</p><p><b>　　1.定義法2</b></p><p>　　2.利用極限四則運(yùn)算法則3</p><p>　　3.

6、利用夾逼性定理求極限3</p><p>　　4.利用兩個(gè)重要極限求極限4</p><p>　　5.利迫斂性來求極限4</p><p>　　6.用洛必達(dá)法則求極限5</p><p>　　7.利用定積分求極限6</p><p>　　8.利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限6</p>

7、<p>　　9.利用變量替換求極限7</p><p>　　10.利用遞推公式計(jì)算或證明序列求極限7</p><p>　　11.利用等價(jià)無窮小量代換來求極限8</p><p>　　12.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限9</p><p>　　13.利用泰勒公式求極限10</p><p>　　14.利用兩個(gè)準(zhǔn)

8、則求極限10</p><p>　　15.利用級數(shù)收斂的必要條件求極限12</p><p>　　16.利用單側(cè)極限求極限13</p><p><b>　　總結(jié)13</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)14</b></p><p><b>　　外文摘要

9、15</b></p><p>　　求極限的若干方法 </p><p><b>　　范秀龍</b></p><p>　　摘 要:在數(shù)學(xué)分析中，極限思想貫穿于始末，求極限的方法也顯得至關(guān)重要。本文主要探討、總結(jié)求極限的一般方法并補(bǔ)充利用級數(shù)收斂及利用積分求極限的特殊方法，而且把每一種方法的特點(diǎn)及注意事項(xiàng)作了詳細(xì)重點(diǎn)說明，并以實(shí)例加以

10、例解，因此彌補(bǔ)了一般教材的不足。由于本文通過總結(jié)、研究對求極限的各種方法的很多細(xì)節(jié)作了具體注解，使方法更具針對性、技巧性，因此，克服了遇到問題無從下手的缺點(diǎn),能夠做到游刃有余。</p><p>　　關(guān)鍵詞：夾逼準(zhǔn)則 單調(diào)有界準(zhǔn)則 洛必達(dá)法則 微分中值定理</p><p>　　學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性。因?yàn)?，代?shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理

11、“無限”的概念。所以為了要利用代數(shù)處理代表無限的量，於是精心構(gòu)造了“極限”的概念。</p><p>　　函數(shù)極限的定義性質(zhì)及作用</p><p>　　在“極限”的定義中，我們可以知道，這個(gè)概念繞過了用一個(gè)數(shù)除以的麻煩，而引入了一個(gè)過程任意小量。就是說，除數(shù)不是零，所以有意義，同時(shí)，這個(gè)過程小量可以取任意小，只要滿足在的區(qū)間內(nèi)，都小于該任意小量，我們就說他的極限為該數(shù)——你可以認(rèn)為這是投機(jī)取

12、巧，但是，他的實(shí)用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能，這個(gè)概念是成功的。</p><p>　　限的概念是高等數(shù)學(xué)中最基本最重要的概念，它是由于求某些實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的. 例如：我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元三世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法—割圓術(shù)，就是極限思想在幾何上的應(yīng)用.</p><p>　　數(shù)列極限標(biāo)準(zhǔn)定義：對數(shù)列，若存在常數(shù)，對于任意，總存在正整數(shù)，

13、使得當(dāng)時(shí)，成立，那么稱是數(shù)列的極限。</p><p>　　函數(shù)極限標(biāo)準(zhǔn)定義：設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義，若存在常數(shù)，對于任意，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，成立，那么稱是函數(shù)在無窮大處的極限。</p><p>　　設(shè)函數(shù)在處的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)，對于任意，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，成立，那么稱是函數(shù)</p><p><b>　　在處的極限。</b

14、></p><p>　　函數(shù)極限具有的性質(zhì)：</p><p>　　性質(zhì) 1（唯一性） 如果存在，則必定唯一</p><p>　　性質(zhì) 2（局部有界性） 若存在，則在的某空心鄰域內(nèi)有界</p><p>　　性質(zhì) 3（保序性） 設(shè)</p><p>　　性質(zhì)4（迫斂性）設(shè)，且在某內(nèi)有，則.</p>

15、<p>　　數(shù)學(xué)分析的主要任務(wù)是研究函數(shù)的各種性態(tài)以及函數(shù)值的計(jì)算或近似計(jì)算，主要內(nèi)容是微積分，在微積分中幾乎所有的基本概念都是用極限來定義的?？梢哉f，沒有極限理論就沒有微積分。</p><p>　　二、函數(shù)極限的計(jì)算及多種求法</p><p>　　極限一直是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，而對數(shù)列極限的求法可謂是多種多樣，通過歸納和總結(jié)，我們羅列出一些常用的求法。求數(shù)列極限的最基本的

16、方法還是利用數(shù)列極限的定義，也要注意運(yùn)用兩個(gè)重要極限，其中，可以利用等量代換，展開、約分，三角代換等方法化成比較好求的數(shù)列，也可以利用數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則計(jì)算。夾逼性定理和單調(diào)有界原理是很重要的定理，在求的時(shí)候要重點(diǎn)注意運(yùn)用。洛必達(dá)法則、黎曼引理是針對某些特殊的數(shù)列而言的。還有一些比較常用的方法，在本文中都一一列舉了。</p><p><b>　　1.定義法</b></p>

17、<p>　　利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設(shè)是一個(gè)數(shù)列,是實(shí)數(shù),如果對任意給定的,總存在一個(gè)正整數(shù)，當(dāng)時(shí),都有,我們就稱是數(shù)列的極限.記為.</p><p>　　例1: 按定義證明.</p><p><b>　　解: </b></p><p><b>　　令,則讓即可,</b></p><

18、p>　　存在,當(dāng)時(shí),不等式: 成立,</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　2.利用極限四則運(yùn)算法則</p><p>　　應(yīng)用數(shù)列或函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則,其前提條件是參加運(yùn)算的數(shù)列或函數(shù)首先是收斂數(shù)列或函數(shù),其次在做除法運(yùn)算時(shí),要求必先使分母的極限不為0,因此,為了利用四則運(yùn)算定理計(jì)算數(shù)列或函數(shù)極限成為收斂數(shù)列或

19、函數(shù),需以原分子、原分母中隨n或x增大最快的項(xiàng)除分子、分母,使恒等變形后的分子、分母為滿足數(shù)列或函數(shù)極限四則運(yùn)算定理?xiàng)l件的收斂數(shù)列或函數(shù),值得我們注意的是在應(yīng)用數(shù)列或函數(shù)極限的四則運(yùn)算前,先把所給的商式消去分子分母的公共零因子。</p><p>　　例2: 求,其中.</p><p>　　解: 分子分母均為無窮多項(xiàng)的和,應(yīng)分別求和,再用四則運(yùn)算法則求極限</p><

20、p><b>　　,</b></p><p><b>　　原式 </b></p><p>　　3.利用夾逼性定理求極限</p><p>　　當(dāng)極限不易直接求出時(shí), 可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小, 使放大與縮小所得的新變量易于求極限, 且二者的極限值相同, 則原極限存在,且等于公共值。特別是當(dāng)在連加或連乘的極限

21、里,可通過各項(xiàng)或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式。</p><p><b>　　例3:求的極限。</b></p><p>　　解: 對任意正整數(shù)n,顯然有</p><p><b>　　,</b></p><p>　　而,,由夾逼性定理得</p><p>　　4.利用兩個(gè)

22、重要極限求極限</p><p>　　兩個(gè)重要極限是和，第一個(gè)重要極限過于簡單且可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。利用這兩個(gè)重要極限來求函數(shù)的極限時(shí)要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)才能夠運(yùn)用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。</p><p><b>　　例4：求極限</b></p><p>　　【說明

23、】第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊，最后湊指數(shù)部分。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　5.利迫斂性來求極限</p><p><b>　　設(shè),且在某內(nèi)有,則</b></p><p><b>　　例5：求的極限</b></p>

24、;<p>　　解：. 且由迫斂性知 </p><p>　　做此類型題目的關(guān)鍵在于找出大于已知函數(shù)的函數(shù)和小于已知函數(shù)的函數(shù)，并且所找出的兩個(gè)函數(shù)必須要收斂于同一個(gè)極限。</p><p>　　6.用洛必達(dá)法則求極限 </p><p>　　洛必達(dá)法則為：假設(shè)當(dāng)自變量趨近于某一定值（或無窮大）時(shí)，函數(shù)和滿足：和的

25、極限都是或都是無窮大；和都可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)不為；存在（或是無窮大），則極限也一定存在，且等于，即= 。利用洛必達(dá)法則求極限，由于分類明確，規(guī)律性強(qiáng)，且可連續(xù)進(jìn)行運(yùn)算，可以簡化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過程，但運(yùn)用時(shí)需注意條件。</p><p><b>　　例6:求</b></p><p><b>　　解: 是待定型 </b></p>

26、<p>　　注：運(yùn)用洛比達(dá)法則應(yīng)注意以下幾點(diǎn)</p><p>　　1、要注意條件，也即是說，在沒有化為時(shí)不可求導(dǎo)。</p><p>　　2、應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　3、要及時(shí)化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會引起錯(cuò)誤。

27、</p><p>　　7.利用定積分求極限</p><p>　　設(shè)函數(shù) 在區(qū)間上連續(xù)，將區(qū)間分成個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)任取一點(diǎn)，作和式（見右下圖），當(dāng)時(shí)，(屬于最大的區(qū)間長度)該和式無限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x) 在區(qū)間的定積分。要求深刻理解與熟練掌握的重點(diǎn)內(nèi)容有：1、定積分的概念及性質(zhì)。2、定積分的換元法和分部積分法，3、變上限的定積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，牛頓（New

28、ton）—萊布尼茲（Leibniz）公式。要求一般理解與掌握的內(nèi)容有：4、廣義積分的概念與計(jì)算。</p><p><b>　　例7:求</b></p><p><b>　　解: </b></p><p><b>　　設(shè),則在內(nèi)連續(xù),</b></p><p><b>　

29、　所以, </b></p><p><b>　　所以原式</b></p><p>　　難點(diǎn)：定積分的概念，上限函數(shù)，定積分的換元法。</p><p>　　8.利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限</p><p>　　首先, 利用無窮小量乘有界變量仍然是無窮小量,這一方法在求極限時(shí)常常用到;再

30、者利用等價(jià)無窮量。在求函數(shù)極限過程中,如果此函數(shù)是某個(gè)無窮小量與所有其他量相乘或相除時(shí), 這個(gè)無窮小量可以用它的等價(jià)無窮小量來代替,從而使計(jì)算簡化。</p><p><b>　　例8：求的值</b></p><p>　　解：因?yàn)槭菬o窮小量，而是有界變量，所以</p><p><b>　　還是無窮小量，即</b></p

31、><p>　　9.利用變量替換求極限</p><p>　　為了將未知的極限化簡，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來的極限過程，轉(zhuǎn)化為新的極限過程。最常用的方法就是等價(jià)無窮小的代換。</p><p><b>　　例9： 已知試證</b></p><p><b>　　證明：

32、令</b></p><p><b>　　則時(shí)，于是 </b></p><p>　　易知當(dāng)時(shí)第二、三項(xiàng)趨于零，現(xiàn)證第四項(xiàng)極限亦為零。事實(shí)上，因（當(dāng)時(shí)），故有界，即，使得。故</p><p>　　10.利用遞推公式計(jì)算或證明序列求極限</p><p>　　借助遞推公式計(jì)算或證明序列的極限，也是一種常見的方法，在這

33、里我們需要首先驗(yàn)證極限的存在性。在極限存在的前提下，根據(jù)極限的唯一性，來解出我們所需要的結(jié)果，但往往驗(yàn)證極限的存在形式比較困難的，需要利用有關(guān)的不等式或?qū)崝?shù)的一些性質(zhì)。</p><p>　　例10（1）設(shè)，對，定義。證明</p><p><b>　　且時(shí)，</b></p><p>　?。?）若c為任意的正數(shù)。置于（1）的遞推公式中，給出，假設(shè)，

34、則當(dāng)時(shí)，</p><p>　　解：（1）對任意的n, ，而且，因?yàn)?lt;/p><p>　　推得，因此，序列是單調(diào)遞增且有界，它的極限存在，設(shè)為x，從遞推公式中得到</p><p><b>　　解得，即。</b></p><p>　?。?）因?yàn)榍覍θ我獾模?，可以在上作歸納證明，對任意的，。由知，所以序列是單調(diào)遞增的，因而極限

35、存在，借助遞推公式可求的其極限為。</p><p>　　11.利用等價(jià)無窮小量代換來求極限</p><p>　　所謂等價(jià)無窮小量即稱與是時(shí)的等價(jià)無窮小量，記作</p><p>　　定理：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，</p><p><b>　　且有</b></p><p><b>　　1.若則&l

36、t;/b></p><p><b>　　2.若則</b></p><p><b>　　證明：① </b></p><p>　?、诳深愃谱C明，在此就不在詳細(xì)證明了！</p><p>　　由該定理就可利用等價(jià)無窮小量代換來求某些函數(shù)的極限</p><p><b>

37、　　例11：求的極限</b></p><p><b>　　解：由 而；</b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　故有</b></p><p>　　注：由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的</p>

38、;<p>　　等價(jià)無窮小量，如：由于，故有又由于故有，。</p><p>　　另注：在利用等價(jià)無窮小代換求極限時(shí)，應(yīng)該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。如上式中若因有，；，而推出的則得到的結(jié)果是錯(cuò)誤的。</p><p>　　小結(jié):在求解極限的時(shí)候要特別注意無窮小等價(jià)替換,無窮小等價(jià)替換可以很好的簡化解

39、題。</p><p>　　12.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限</p><p>　　利用函數(shù)的連續(xù)性求極限包括：如函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則 及若且f(u)在點(diǎn)a連續(xù)，則</p><p><b>　　例7：求的極限</b></p><p>　　解：由于及函數(shù)在處連續(xù)，故</p><p>　　13.利用泰勒公式求極限

40、</p><p>　　由于泰勒公式的特殊形式，對于求解某些函數(shù)的極限有簡化求解過程的作用。 </p><p><b>　　例13：求</b></p><p>　　解：本題可用洛比達(dá)法則來求解，但是運(yùn)算過程比較繁瑣，在這里可用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子，取</p><p><

41、b>　　因而求得</b></p><p>　　14.利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限</p><p>　　(1)函數(shù)極限的迫斂性（夾逼法則）：若一正整數(shù),當(dāng)時(shí)，有且則有 </p><p>　　利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從的表達(dá)式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列和，使得。</p><p>　　例:14

42、 </p><p><b>　　求的極限</b></p><p>　　解：因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)</p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p>　　

43、（2）：單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。</p><p>　　利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限。</p><p>　　例：15 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。 </p><p>　　證明：從這個(gè)數(shù)列構(gòu)造來看 顯然是單調(diào)增加的。用歸納法可證。 </p>

44、<p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p>　　所以得. 因?yàn)榍懊孀C明是單調(diào)增加的。</p><p><b>　　兩端除以得 </b></p><p>　　因?yàn)閯t, 從而 </p><p>　　即 是有界的。根據(jù)定理有極限，而且極限唯一。</p

45、><p>　　令則 </p><p>　　則.因?yàn)榻夥匠痰?</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　15.利用級數(shù)收斂的必要條件求極限</p><p>　　利用級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)收斂，則運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級數(shù)收斂，然后求出它的通

46、項(xiàng)的極限</p><p>　　例：16 求 </p><p><b>　　解：設(shè)</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　由比值判別法知收斂，由必要條件知</p><p>　　16.利用單側(cè)極限求極限</p><p&

47、gt;<b>　　形如：</b></p><p>　　1） 求含的函數(shù)趨向無窮的極限，或求含的函數(shù)趨于的極限;</p><p>　　2）求含取整函數(shù)的函數(shù)極限;</p><p>　　3）分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限;</p><p>　　4）含偶次方根的函數(shù)以及或的函數(shù)，趨向無窮的極限.</p><p&g

48、t;　　這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先必須考慮分段點(diǎn)的左，右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。</p><p><b>　　例：17 </b></p><p><b>　　求在的左右極限</b></p><p><b>　　解：</b>&

49、lt;/p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　以上方法是在高等數(shù)學(xué)里求解極限的重要方法。在做求解極限的題目時(shí)，僅僅掌握以上方法的而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細(xì)心分析仔細(xì)甄選，選擇出適當(dāng)?shù)姆椒?。這樣不僅準(zhǔn)確率更高，而且會省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。這就要求學(xué)習(xí)者要吃透其精髓，明了其道理，體會出做題的竅門。達(dá)到

50、這樣的境界非一日之功，必須要多做題善于總結(jié)，日積月累，定會熟能生巧，在做題時(shí)得心應(yīng)手。</p><p>　　從上述的介紹中可以看出求極限的方法不拘一格， 我們應(yīng)具體問題具體分析，不能機(jī)械地用某種方法，對具體題目要注意觀察，有時(shí)解題可多種方法混合使用，要學(xué)會靈活運(yùn)用。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 郝

51、 梅：求函數(shù)極限的方法.福建教育學(xué)校學(xué)報(bào).2006.10.</p><p>　　[2] 劉小軍:高等數(shù)學(xué)解題方法.云南廣播電視大學(xué)理工學(xué)院學(xué)報(bào).2006.08</p><p>　　[3] 劉書田：高等數(shù)學(xué).北京大學(xué)出版社.2005</p><p>　　[4] 陳 璋：朱學(xué)炎等.《數(shù)學(xué)分析》.復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等教育出版社.2006</p><

52、p>　　[5] 郝 涌：盧士堂等.《數(shù)學(xué)考研精解》.華中理工大學(xué)出版社.2004</p><p><b>　　外文摘要</b></p><p>　　THE LIMIT OF THE NUMBER OF METHODS</p><p>　　FAN Xiu-long</p><p>　　Abstract: in th

53、e mathematical analysis, limit thought throughout the story, the limit of the method are crucial. This paper mainly discusses the limit of the general method, summarize and supplement use series convergence and using int

54、egral limit of the special method, but also the characteristics of each approach and the matters needing attention in detail explained, and examples of general teaching material, make up the deficiency of. Because this p

55、aper summarizes, research on the limit of the</p><p>　　Key words: squeeze rule; criterion of monotone bounded; continuous function; infinitesimal nature; L'Hospital Rule; differential mean value theorem;