兩類拋物雙曲方程的定性研究.pdf

1、本文主要研究?jī)深愄厥獾膾佄镫p曲方程（組）的定性問題.其中一類是退化拋物-雙曲方程，另一類是熱彈性力學(xué)方程組.
　　 退化拋物-雙曲方程出現(xiàn)在很多的物理模型中，例如多孔介質(zhì)流，污染物遷移過程，沉降固化過程，金融決策過程等等.此類方程的特點(diǎn)在于方程的類型（拋物或雙曲）是以依賴于解本身的方式耦合在一起.因此對(duì)于解的性態(tài)的研究非常困難.
　　 熱彈性力學(xué)是研究彈性物體在溫度影響下應(yīng)力與應(yīng)變?nèi)绾巫兓囊婚T學(xué)科.它是在彈性力學(xué)框架下

2、利用熱傳導(dǎo)過程和熱力學(xué)第一、第二定律建立起來的理論.當(dāng)熱傳導(dǎo)過程由Fourier定律描述時(shí)，相應(yīng)的方程組稱為經(jīng)典的熱彈性力學(xué)方程組.它是一個(gè)拋物和雙曲耦合的方程組.當(dāng)熱傳導(dǎo)過程由Cattaneo定律描述時(shí)，相應(yīng)的方程組稱為帶第二聲的熱彈性力學(xué)方程組.它是一個(gè)雙曲型方程組.
　　 對(duì)上述兩類方程的定性研究都需要我們對(duì)拋物方程和雙曲方程的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)有充分的認(rèn)識(shí).本文的主要結(jié)果如下:
　　 一.給出一般各向同性退化拋物-雙曲方

3、程N(yùn)eumann問題的適定性.我們給出了Neumann問題熵解的定義，其中最主要的是提出了新的邊界條件.該邊界條件的合理性需要熵解在邊界上有跡存在.因此，我們給出了一般各向同性退化拋物-雙曲方程L∞熵解強(qiáng)跡的存在性.在給出適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件后，我們利用Kru(z)kov雙變量方法及邊界層序列給出了熵解的唯一性證明.但是，唯一性的證明需要兩個(gè)前提條件，一個(gè)是要求流函數(shù)和擴(kuò)散函數(shù)滿足真正非線性-擴(kuò)散條件，另一個(gè)是要求區(qū)域必須是矩形區(qū)域.盡管這樣

4、，我們依然首次證明了高維情形下退化拋物-雙曲方程熵解的唯一性.對(duì)熵解的存在性我們也有討論.
　　 二.證明帶第二聲的熱彈性力學(xué)方程組光滑解必然在有限時(shí)間內(nèi)爆破，并且給出第二聲模型與經(jīng)典熱彈性力學(xué)模型之間的比較.通過人工的Euler-Lagrange坐標(biāo)變換，結(jié)合T.C.Sideris[72]在證明可壓流體爆破時(shí)用到的技巧和思想，并且利用M.A.Tarabek[77]在第二聲模型中給出的低階能量估計(jì)，我們能夠說明在大初值條件下，光