拋物型方程有限體積元方法的兩類算法.pdf

1、學號：分類號：研究生姓名：指導教師：學科門類：專業(yè)名稱：論文提交日期：碩士學位論文201200363004O241.82趙鑫陳傳軍副教授理學計算數學2015年06月03日拋物型方程有限體積元方法的兩類算法Twoalgithmsoffinitevolumeelementmethodfparabolicequations摘要摘要有限體積元法在國內又被稱為廣義差分法自1982年被李榮華教授提出以來由于其計算量減少程序易于實現而且能夠保持物理量

2、的局部守恒性故其在計算流體力學、固體力學及等領域有著廣泛的應用.本文主要作了以下的工作:(1)以下的一維非線性拋物方程的有限體積元及兩重網格算法?u?t???x(A(u)?u?x)=f(uxt)(xt)∈?(0T].關于非線性拋物方程建立有限體積元格式在分析其有限體積元解的存在性時借助于Brouwer不動點定理引入算子Jh.如果算子Jh有不動點υ?那么Unh=υ?即為有限體積元格式的解.而根據Brouwer不動點定理需證明算子Jh有界.

3、這可以根據所假設的系數及右端項滿足lipschitz條件以及P.Chatzipantelidis等人在[212223]中所證明的有限體積元格式(FVEM)與有限元格式(FEM)之間的區(qū)別并加以簡單估計即可得到算子的有界性.兩重網格是關于非線性方程的一種離散技巧它有兩重不同的網格.其主要思想為在粗網格上得到一個對于真解的大致逼近然后用這個大致的逼近作為細網格上的初始假設.這種方法包含兩步：第一步在粗網格上求解非線性方程；第二步在細網格上將

4、非線性方程轉化為線性方程進行求解.在證明有限體積元的收斂性時可以參考有限元方法的證明如V.Thomee在其書[37]《GalerkinFiniteElementMethodsfParabolicProblems》所述構造橢圓算子Rh令wnh=Rhun將誤差分成兩部分其中一部分由橢圓算子的性質可以得到其估計只有另一部分還需估計.而兩重網格的收斂性估計可以參考陳傳軍所作的論文[56]中所證將右端項在粗網格解處Tayl展開.借助于上述有限體積

5、元的分析結果即可得到兩重網格的結果.在做數值算例時對比了V.ThomeeP.Chatzipantelidis以及在求解非線性方程組中廣泛應用的Broyden擬Newton迭代法發(fā)現V.Thomee提出的方法更適用于求解此類非線性拋物方程.在得到兩重網格的數值結果后發(fā)現其工作時間更短從而更加有效.在本文中我們證明了有限體積元解L2模和H1模的最優(yōu)階估計以及兩重網格H1模的最優(yōu)階收斂性.該收斂性表明粗網格的尺寸可以比細網格的粗得很.但是當網

6、格的尺寸滿足h=O(H2)時我們可以得到最優(yōu)的漸近逼近解.給出數值算例驗證了理論結果.(2)在本文中我們也研究了拋物方程有限體積元的殘量型后驗誤差估計?u?t??(a(xt)?u)=f(xt)?(0T].對空間?做正則三角形剖分Th[33]初始剖分Th的重心型對偶剖分T?h.試探函數空間Uh取為相應于三角剖分Th的分片線性空間.檢驗函數空間Vh取為相應于對偶剖分T?h的分片常數空間.在此基礎上構造了上述拋物方程的全離散向后Euler有限