拋物型方程有限體積元方法的兩類算法.pdf

1、學(xué)號(hào)：分類號(hào)：研究生姓名：指導(dǎo)教師：學(xué)科門類：專業(yè)名稱：論文提交日期：碩士學(xué)位論文201200363004O241.82趙鑫陳傳軍副教授理學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)2015年06月03日拋物型方程有限體積元方法的兩類算法Twoalgithmsoffinitevolumeelementmethodfparabolicequations摘要摘要有限體積元法在國(guó)內(nèi)又被稱為廣義差分法自1982年被李榮華教授提出以來由于其計(jì)算量減少程序易于實(shí)現(xiàn)而且能夠保持物理量

2、的局部守恒性故其在計(jì)算流體力學(xué)、固體力學(xué)及等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.本文主要作了以下的工作:(1)以下的一維非線性拋物方程的有限體積元及兩重網(wǎng)格算法?u?t???x(A(u)?u?x)=f(uxt)(xt)∈?(0T].關(guān)于非線性拋物方程建立有限體積元格式在分析其有限體積元解的存在性時(shí)借助于Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理引入算子Jh.如果算子Jh有不動(dòng)點(diǎn)υ?那么Unh=υ?即為有限體積元格式的解.而根據(jù)Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理需證明算子Jh有界.

3、這可以根據(jù)所假設(shè)的系數(shù)及右端項(xiàng)滿足lipschitz條件以及P.Chatzipantelidis等人在[212223]中所證明的有限體積元格式(FVEM)與有限元格式(FEM)之間的區(qū)別并加以簡(jiǎn)單估計(jì)即可得到算子的有界性.兩重網(wǎng)格是關(guān)于非線性方程的一種離散技巧它有兩重不同的網(wǎng)格.其主要思想為在粗網(wǎng)格上得到一個(gè)對(duì)于真解的大致逼近然后用這個(gè)大致的逼近作為細(xì)網(wǎng)格上的初始假設(shè).這種方法包含兩步：第一步在粗網(wǎng)格上求解非線性方程；第二步在細(xì)網(wǎng)格上將

4、非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程進(jìn)行求解.在證明有限體積元的收斂性時(shí)可以參考有限元方法的證明如V.Thomee在其書[37]《GalerkinFiniteElementMethodsfParabolicProblems》所述構(gòu)造橢圓算子Rh令wnh=Rhun將誤差分成兩部分其中一部分由橢圓算子的性質(zhì)可以得到其估計(jì)只有另一部分還需估計(jì).而兩重網(wǎng)格的收斂性估計(jì)可以參考陳傳軍所作的論文[56]中所證將右端項(xiàng)在粗網(wǎng)格解處Tayl展開.借助于上述有限體積

5、元的分析結(jié)果即可得到兩重網(wǎng)格的結(jié)果.在做數(shù)值算例時(shí)對(duì)比了V.ThomeeP.Chatzipantelidis以及在求解非線性方程組中廣泛應(yīng)用的Broyden擬Newton迭代法發(fā)現(xiàn)V.Thomee提出的方法更適用于求解此類非線性拋物方程.在得到兩重網(wǎng)格的數(shù)值結(jié)果后發(fā)現(xiàn)其工作時(shí)間更短從而更加有效.在本文中我們證明了有限體積元解L2模和H1模的最優(yōu)階估計(jì)以及兩重網(wǎng)格H1模的最優(yōu)階收斂性.該收斂性表明粗網(wǎng)格的尺寸可以比細(xì)網(wǎng)格的粗得很.但是當(dāng)網(wǎng)

6、格的尺寸滿足h=O(H2)時(shí)我們可以得到最優(yōu)的漸近逼近解.給出數(shù)值算例驗(yàn)證了理論結(jié)果.(2)在本文中我們也研究了拋物方程有限體積元的殘量型后驗(yàn)誤差估計(jì)?u?t??(a(xt)?u)=f(xt)?(0T].對(duì)空間?做正則三角形剖分Th[33]初始剖分Th的重心型對(duì)偶剖分T?h.試探函數(shù)空間Uh取為相應(yīng)于三角剖分Th的分片線性空間.檢驗(yàn)函數(shù)空間Vh取為相應(yīng)于對(duì)偶剖分T?h的分片常數(shù)空間.在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了上述拋物方程的全離散向后Euler有限