兩類四階非線性拋物方程解的適定性和漸近性.pdf

1、隨著現(xiàn)代數(shù)學和計算機科學的不斷進步，偏微分方程(PDE)理論及其應用均得到了長足發(fā)展，諸如物理、幾何、生物等自然科學和工程技術等領域相繼涌現(xiàn)出了許多急待深入研究的高階偏微分方程。由于在二階PDE中起重要作用的極值原理對高階方程一般不成立，因此，在探討高階偏微分方程時就需要利用新的數(shù)學工具和方法。同時，來源于理論物理或其它一些實際問題中的高階偏微分方程更多是非線性的，有的甚至是退化或奇異的，這些都使得高階問題的研究變得更加復雜和困難，也更

2、具有挑戰(zhàn)性。正因為如此，對這些描述和解釋自然現(xiàn)象的高階PDE的研究吸引了愈來愈多國內(nèi)外學者的關注。
　　本論文考慮兩類來源于實際問題的四階非線性拋物方程解的適定性和漸近性。具體地說，研究一類廣義薄膜方程解傳播速度的有限性和長時間行為，以及一類用于圖像去噪的四階拋物方程解的適定性和長時間行為。論文分為兩部分，具體內(nèi)容如下:
　　第一部分，在周期邊界條件下考慮如下廣義的薄膜方程u1+[un(uxxx-cux+b)]x=0, x∈

3、Ω,t＞0,其中Ω(∈)R是有界區(qū)間，n是正實數(shù)，b，c≥0是常數(shù)。首先，考察初邊值問題非負解的存在性，并建立一些重要的估計。其次，結(jié)合局部熵估計、局部能量估計和方程組情形下的Stampacchia引理，證明了初邊值問題解的傳播速度的有限性質(zhì)對于n∈[2，3）這種情形也成立。最后，應用熵耗散方法得到了初邊值問題（n=1時）古典解的長時間行為:當t→∞時，解以t-1/4的速率一致收斂到初值的平均值。我們的工作將先前文獻的結(jié)果作為特殊情形包

4、含在內(nèi)。
　　論文的第二部分主要探討下面的一類用于圖像去噪的四階拋物方程u1+(g(u)uxx)xx=0，x∈Ω，t＞0，(0.1)其中g(u)=u-n，n＞0，Ω是有界區(qū)間。首先考慮齊次Neumann和無流邊界條件下的初邊值問題。我們先應用代數(shù)的方法推導解的熵估計，它蘊含著解的某些一致估計，是證明解的存在唯一性和漸近行為的關鍵。進一步，應用已建立的熵耗散估計和逼近的思想，證明初邊值問題存在唯一的全局古典解，并且解一致收斂到它的平