基于幾類有限交換環(huán)上線性碼的理論研究.pdf

1、本文在有限環(huán)上理論研究的基礎(chǔ)上，主要研究了一類有限非鏈環(huán)上線性碼關(guān)于RT度量的MacWilliams恒等式、構(gòu)造有限鏈環(huán)上的N-重量碼以及討論有限域上加性常循環(huán)碼的漸近性.具體內(nèi)容如下:
　　1、針對(duì)有限非鏈環(huán)R1=Fl|v|/(vk-v)，上的線性碼，研究了其關(guān)于RT度量的MacWilliams恒等式.通過(guò)定義環(huán)R1上的Gray映射，給出了環(huán)R1上元素關(guān)于Lee重量的一個(gè)劃分.隨后利用Hadamard變換，得到了矩陣環(huán)Mn×s(

2、R1)上線性碼關(guān)于完全ρ重量計(jì)數(shù)器和精確完全ρ重量計(jì)數(shù)器的MacWillims恒等式.最后，分別舉例驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.
　　2、研究了有限鏈環(huán)R2=Fp+uFp上的跡碼C(m，p).當(dāng)選取定義集為L(zhǎng)時(shí)，利用特征和，給出了跡碼C(m，p)的重量分布，再通過(guò)線性保距的Gray映射Ф，可以得到兩類-元N-重量碼，分別是:
　　當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，像碼Ф(C(m，p))為p-元3-重量碼;
　　當(dāng)m是奇數(shù)，且p≡3(mod4)時(shí)，

3、像碼Ф（C（m，p））為p-元2-重量碼.特別是在第二種情況下，證明了像碼Ф(C(m，p))是最優(yōu)的，且能達(dá)到Griesmer界.另外，也給出了跡碼C(m，p)的對(duì)偶距離.最后，研究了像碼碼字的極小性，這也是其在密鑰分享上面的一個(gè)重要應(yīng)用.
　　3、在第四章的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究有限鏈環(huán)R3=Fp[u]/(um)上跡碼的重量分布.在選取三類不同的定義集下，同樣利用特征和得到了跡碼的重量分布，再通過(guò)線性保距的Gray映射，就構(gòu)造出了幾類

4、有限環(huán)R3上的3-重量碼和2-重量碼.值得注意的是，在k=2的情況下，第四章的結(jié)果不是本章的特殊情況.接下來(lái)，考慮了2-重量情況下像碼的最優(yōu)性，利用Griesmer界給出了像碼最優(yōu)的充分條件.最后，對(duì)跡碼的對(duì)偶距離及像碼碼字的極小性也做了研究.
　　4、在文獻(xiàn)[4]中，作者已經(jīng)證明了Fq上漸近好的長(zhǎng)準(zhǔn)扭碼（指數(shù)大于等于2）是存在的.本章在此基礎(chǔ)上，通過(guò)建立Fq上準(zhǔn)扭碼與Fq(e)上加性準(zhǔn)循環(huán)碼之間的聯(lián)系，證明了有限域上漸近好的長(zhǎng)加