一類有限交換環(huán)上常循環(huán)碼研究.pdf

1、本文研究一類有限交換環(huán)上常循環(huán)碼的結構和性質(zhì).并特別研究了一些常循環(huán)碼的Gray像.首先，證明了環(huán)R=R[u]/〈ups-(pμ-1)〉是一個鏈環(huán)，其最大理想為〈1+u〉.與朱士信和開曉山在[67]中的討論類似，我們證明了整數(shù)剩余類環(huán)R=Zpm上長為nps的(pμ-1)-常循環(huán)碼與R[x]/〈xn-u〉的中的理想對應，其中p是素數(shù)，n與p互素，m≥2為整數(shù)，μ是Zpm中的單位.證明了gi（ξih）與u+1相伴，其中ξi1，ξi2，…，ξ

2、ihi是fi(x)=0在R[x]/〈fi(x)〉中的所有根，fi(x)，gi(x)，i=1,2，…，k為R上首一不可約多項式，滿足xn-u=f1f2…fk，xn+1=g1g2…gk，-fi(x)=-gi(x)，i=1,2，…，k.利用環(huán)同構的相關結論分析了任意長度的(pμ-1)-常循環(huán)碼的結構，得到了任意長度的(pμ-1)-常循環(huán)碼的生成多項式的兩種不同的形式，分別為Πki=1gjii(x)和F=(F)0(x)+(1+u)(F)1(x)

3、+…+(1+u)mps-1(F)mps-1(x)，其中0≤ji≤mps，F(xiàn)l(x)=Πji=lfi(x)，i=1,2…k，0≤l≤mps，(f)(x)=（xn-u）/f(x)，f(x)∈R[x].根據(jù)生成多項式得出任意長度的(pμ-1)-常循環(huán)碼的生成矩陣.利用生成矩陣證明了:若Fi(x)與F*j(x)相伴，(A)i，j≥0，i+j=mps，則C=〈F〉為自對偶碼.類似地，分析了一般鏈環(huán)R上任意長度的（t+μλ）-常循環(huán)碼的結構，得到了

4、任意長度的（t+μλ）-常循環(huán)碼的兩種不同生成多項式，其中μ是R中的單位，λ是R中最大理想生成元，1≤t≤p-1，p為環(huán)R剩余域的特征，還給出了R上任意長度的（t+μλ）-常循環(huán)碼的對偶碼的生成多項式。
　　 其次，研究了環(huán)Fq+vFq上任意長度的v-常循環(huán)碼，這里v2=-1，q是奇素數(shù)，分析了v-常循環(huán)碼與Fq上ξ-常循環(huán)碼與-ξ-常循環(huán)碼之間的對應關系，這里ξ∈Fq，ξ2=-1，并由此得到了環(huán)Fq+vFq上任意長度的一個v-

5、常循環(huán)碼的生成多項式g(x)=2-1(1+ξv)g1(x)+2-1(1-ξv)g2(x)，其中g1(x)，g2(x)Fq上首一多項式，g1(x)｜xn+ξ，g2(x)｜xn-ξ.還定義了一類Gray映射ΦF,s，t:R[x]/〈xn-v〉→Fq[x]/〈x2n+1〉，ΦF,s，t(c(x))=ta(x)+sb(x)+xn(-sa(x)+tb(x))，其中a(x)，b(x)∈Fq[x]，s，t∈Fq，R=Fq+vFq.當t2+s2≠0時，

6、證明了Gray映射Φs，t為一一映射.證明了Φs,t(T)=σΦs，t，其中(T)為Rn中元素的v-常循環(huán)移位，σ為F2nq中元素的負循環(huán)移位.由此證明了Fq+vFq上任意長度n的v-常循環(huán)碼的Gray像為Fq上長度為2n的負循環(huán)碼，得到了Fq+vFq上任意長度n的v-常循環(huán)碼的生成多項式g(x)=2-1(1+ξv)g1(x)+2-1(1-ξv)g2(x)，其中g1(x)，g2(x)為Fq上首一多項式，滿足g1(x)｜xn+ξ，g2(x

7、)|xn-ξ.求出了該碼的Gray像的生成多項式g1(x)g2(x)，證明了這類Gray映射為保距映射，研究了Fq+vFq上長度為n的v-常循環(huán)碼的Gray像及其對偶碼的Gray像之間的對應關系為Φ（φ（C⊥））=(Φ(C))⊥，其中φ的定義為φ:R→R，φ(a+bv)=a-bv。
　　 再次，研究了環(huán)R+uR上長度為n的(1+2u)-常循環(huán)碼，這里u2=-u，分析了環(huán)R+uR上的(1+2u)-常循環(huán)碼與環(huán)R上循環(huán)碼和負循環(huán)碼之

8、間的對應關系，并根據(jù)這個對應關系求出了環(huán)R+uR上長度為n的(1+2u)-常循環(huán)碼的生成多項式uG(x)+(1+u)F(x)，其中F,G分別為對應的環(huán)R上循環(huán)碼和負循環(huán)碼的生成多項式.定義了Gray映射ΦF,s，t:R[x]/〈xn-(1+2u)〉→R[x]/〈x2n-1〉，ΦF，s，t(a(x)+ub(x))=ta(x)+sb(x)+xn((t+2s)a(x)-sb(x))，其中R=R+vR，a(x)，b(x)∈R[x]，s，t∈R.

9、當s(t+s)為R中單位時，證明了ΦFs，t是一映射，且都是保距映射，R+uR上(1+2u)-常循環(huán)碼〈uG(x)+(1+u)F(x)〉的Gray像為R上循環(huán)碼，得到了其生成多項式，并證明了環(huán)R+uR上的(1+2u)-常循環(huán)碼C的對偶碼的Gray像正好是其Gray像的對偶碼，即Φ（C⊥）=Φ(C)⊥。
　　 最后，研究了環(huán)R+vR上的v-常循環(huán)碼，這里v2=-1.分析了環(huán)R+vR上的v-常循環(huán)碼與環(huán)R上ζ-循環(huán)碼和-ζ-循環(huán)碼之

10、間的對應關系，其中ζ∈R，ζ2=-1.得到了R+vR上v-常循環(huán)碼的生成多項式(1+ζv)G(x)+(1-ζv)F(x)〉，其中F=(F)1+λ(F)2+…+λe-1(F)e，G=(G)1+λ(G)2+…+λe-1(G)e分別為對應的環(huán)R上ζ-循環(huán)碼和-ζ-循環(huán)碼的生成多項式，F(xiàn)0(x)，F(xiàn)1(x)…Fe(x)，G0(x)，G1(x)…Ge(x)為R上兩兩互素首一多項式，滿足F0(x)F1(x)…Fe(x)=xn-ζ，G0(x)G1(x

11、)…Ge(x)=xn+ζ，(F)i(x)=(xn-ζ)/Fi(x)，(G)i(x)=(xn+ζ)/Gi(x)，(f)(x)=(x2n+1)/f(x)，e為R的剩余域的特征.定義了(R+vR)n上的Gray映射，證明了定義的Gray映射為保距映射，R+vR上的v-常循環(huán)碼的Gray像為R上的負循環(huán)碼，其生成多項式為(F1G1)+λ(F2G2)+…+λe-1(FeGe)，討論了這種常循環(huán)碼的對偶碼的Gray像與常循環(huán)碼的Gray像的對偶碼之