各階元的個數(shù)對有限群結(jié)構(gòu)的影響.pdf

1、設G是一個有限群，πe(G)表示群G的元素階的集合；mi(G)=｜g∈G｜o(g)=i}｜表示G中i階元的個數(shù)，簡記為mi；p(G)=(m1，…，mk，…ms)表示G的階型；nse(G)={mi｜i∈πe(G)}表示G的元長之集合。 考慮群的數(shù)量關系對有限群結(jié)構(gòu)的影響是有限群論中一個重要課題．許多群論工作者在這方面做了大量的工作．如著名的Sylow定理．Lagrange定理．Burnside定理等．1987年施武杰教授提出了單群

2、的純數(shù)量刻畫：僅用有限群元素階的集合和有限群的階來刻畫有限單群。 J．G．Thompson教授在給施武杰教授的一封信中提出了下面一個問題：Thompson問題：設G1與G2為同階型的有限群，若G1可解，G2是否可解? 一些群論工作者從群的最高階元的個數(shù)出發(fā)來研究有限群，側(cè)面對Thompson問題進行了研究，得到了一些令人鼓舞的結(jié)果(參見文獻[10]，[11]，[12]，[13]，[14])，但是，至今沒有人對J．G．Thomps

3、on猜怨給出證明、也沒有可以舉出反例．可見Thompson問題的解決是相當困難的。 本文首先討論了與同階型群相關的另一個問題．怎樣的群可由其階型唯一確定?進一步容易看出若G1與G2為同階型的有限群，必有nse(G1)=nse(G2)．但反之不一定成立．故作者又用數(shù)量集合nse(G)對有限群G進行了初步研究．主要結(jié)論如下： 定理1.1：設G為有限群，H為23p階群，p為奇素數(shù)，則G≌H的充要條件是p(G)=p(H)。

4、 定理2.1：設G是具有循環(huán)極大子群的pn階群，其中p為素數(shù)，H為群。則：(1)當G≠G2，G3，G6時，H≌G的充要條件是p(H)=p(G)．(2)當G=G2，G3或G6時，若p(H)=P(G)，則H≌G2，G3或G6。 定理3.1：設M為群，G為2qp階群，其中q＜p為不同的奇素數(shù)．則M≌G的充要條件是p(M)=p(G)。 定理3.2： M為群，則M≌A5的充要條件是p(M)=p(A5)。 定理4.3：設G