稀疏集中有限Abel群個(gè)數(shù)的均值問(wèn)題.pdf

1、設(shè)a(n)表示所有的非同構(gòu)Abel群的個(gè)數(shù).熟知對(duì)每一個(gè)素?cái)?shù)P，自然數(shù)α≥1,有a(pα)=P(α),這里P(α)表示α的無(wú)約束劃分的個(gè)數(shù).特別我們有a(1)=1,a(p)=1,a(p2)=2,a(p3)=3,a(p4)=5,a(p5)=7,a(p6)=11,a(p7)=15.關(guān)于有限Abel群的個(gè)數(shù)函數(shù)a(n)的均值,許多數(shù)論學(xué)家做了深入的研究：P.Erdos，G.Szekeres首先證明∑a(n)=c1x+O(x1/2).Kenda

2、ll,Rankin證得∑a(n)=c1x+c2x1/2+O(x1/3logx).H.-E.Richert證得∑a(n)=c1x+c2x1/2+c3x1/3+O(x3/10log9/10x).
　　我們令△(x):=∑a(n)-c1x-c2x1/2-c3x1/3，以下是近期的研究成果:
　　△(x)≤x20/69log21/23x，W.Schwarz;
　　△(x)≤x7/27log2x，P.G.Schmidt;

3、　　△(x)≤x97/381log35x，G.Kolesnik;
　　△(x)≤x40/159+ε，H.Q.Liu;＜
　　△(x)≤x50/199+ε，H.Q.Liu;
　　△(x)≤x55/219log7x，Sargos and Wu;
　　△(x)≤x1/4+ε，Robert and Sargos.
　　設(shè)k≥2為一固定的正整數(shù),n＞1的標(biāo)準(zhǔn)分解式n=p1α1p2α2…psαs,若αj≥k(j=1,…

4、,s),則稱n為k-full數(shù).令δk為k-full數(shù)的特征函數(shù).文[18]證明了a(n)在2-full和3-full數(shù)集中的均值:
　　∑a(n)δ2(n)=x1/2P1(logx)+x1/3P2(logx)+O(x1/4+ε),其中Pj(t)(j=1,2)是t的j次多項(xiàng)式.
　　∑a(n)32(n)=x1/3Q2(logx)+x1/4Q4(logx)+x1/5Q6(logx)+O(x0.1876+ε),其中Qj(t)(j

5、=2,4,6)是t的j次多項(xiàng)式.
　　1953年P(guān)iatetski-Shapiro第一次考慮了后來(lái)以他的名字命名的素?cái)?shù)問(wèn)題,令πc(x)=∑1(n≤x,[nc]=P),并且他證明了當(dāng)1＜c≤12/11≈1.090909…時(shí)，有公式(1)：πc(x)=∑1=(1+o(1))x/clogx(n≤x,[nc]=P).此后,c的范圍被不斷擴(kuò)大.目前最好的結(jié)果是Rivat和Sargos,他們證明了當(dāng)1＜c＜2817/2426≈1.16117