Abel群中子集和的一些問題.pdf

1、加性群論與加性數(shù)論又稱堆壘群論和堆壘數(shù)論。其中許多古典問題是直接問題，即給出群的兩個子集A與B，我們來描述和集A+B的結(jié)構(gòu)。相反的問題是逆問題，即由和集A+B的結(jié)構(gòu)來決定A與B的結(jié)構(gòu)。 在這篇文章中，我們主要研究加性群論中與直接問題和逆問題有關(guān)的若干基本問題，我們分六章來討論這些問題。 在第一章，我們介紹一些基本概念與記號，并總結(jié)加性群論有關(guān)問題研究的一些背景與進展。 在第二章，我們用集合論的一些方法給出了Kne

2、ser’s定理的一個新的等價形式，即設(shè)G為Abel群，A，B為G的兩個有限非空子集，令H=H(A+B)={g∈G|A+B+g=A+B)為A+B的穩(wěn)定化子。此結(jié)果作為這篇文章中的一個基本工具，比高維東的結(jié)果更精細(xì)。我們用這個結(jié)果很容易推出加性群論的一些著名的定理(如Kemperman-Scherk’s定理，Cauchy-Davenport’s定理與Chowla’s定理)等一些關(guān)于子集和的一些結(jié)論。并用該定理改進了M.B.Nathanson

3、關(guān)于群的加法基(堆壘基)的階數(shù)的上界。 在第三章，我們將Kemperman’s結(jié)構(gòu)定理(KST)推廣到下面兩種情形： (i)滿足|A+B=|A|++|B|+k(K為非負(fù)整數(shù))的子集對(A，B)。 (ii)滿足|A+B|=|A|+|B|-p(p>1為整數(shù))且A+B為非周期或存在某元素c∈A+B使v<,c>(A，B)=P的子集對(A，B)． 在第四章，我們將 D·Grynkiewicz 關(guān)于擬周期分解的性質(zhì)一

4、般化。如關(guān)于A的兩個擬周期分解，我們有下面更一般的結(jié)果：設(shè)A∪A與A′∪A′<,0>分別為A的擬周期為H與L的擬周期分解，其中H與L為G的非平凡子群．則下列結(jié)論之一成立： (i)A<,0>=A′<,0>,A<,1>=A′<,1>； (ii)存在H∩L的某個陪集的一子集K (可為空集φ)使A∪K為(H+L)一周期； (iii)L為H之真子群(L為L-擬周期； (iv)H為L之真子群(H

5、)且A′<,0>為H-擬周期。 另外，我們利用擬周期分解的性質(zhì)對Kemperman的一個奇怪的事實作出新的統(tǒng)一注解，并將Kemperman關(guān)于奇怪的事實成立條件“n>2p”換為更廣的條件：“群G中任意n-P個元生成的子群的階數(shù)>P”。 在第五章，我們給出了Kneser’S定理的一個新的等價形式的兩個應(yīng)用。我們首先給出了Abel群G的元構(gòu)成的序列s的和集的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)比高維東所給出的性質(zhì)更精細(xì)。另外，我們給出了Chu