概率習題詳解

1、習題精選精講11概率（1）隨機事件）隨機事件——概率學把“可能性”引進數(shù)學概率學把“可能性”引進數(shù)學在概率學中，我們稱一定發(fā)生的事件為必然事件，不可能發(fā)生的事件是不可能事件，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是隨機事件.概率也就是事件發(fā)生的可能性.所以必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，而隨機事件的概率在區(qū)間（0，1）之中.【例【例1】同時擲兩枚骰子，則以下事件各是什么事件？（1）點數(shù)之和是正整數(shù)；（2）點數(shù)之和小于2；（3）點數(shù)之和是3

2、的倍數(shù).【解析】【解析】（1）是必然事件，（2）是不可能事件；（3）是隨機事件.（2）等可能事件）等可能事件——概率公式的起源概率公式的起源如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，而且這n個結果出現(xiàn)的可能性相同，則稱這類事件為等可能事件.由此導出基本概率公式是：.（其中n和m分別表示基本事件總數(shù)和事件A發(fā)生的次數(shù).）??mPAn?【例【例2】將一枚骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（）ＡＢＣＤ19112115118【

3、解析】【解析】拋擲一枚骰子后，出現(xiàn)任何一面的可能性相同.所以本題屬于等可能事件.一枚骰子連續(xù)拋擲三次，則基本事件總數(shù)；設事件A；連擲3次所得點數(shù)依次成等差數(shù)列，那么3數(shù)相等時有111，36216n??222，…666等六種；3數(shù)不相等時有123，234，345，456，135，246及其反序數(shù)等12個.于是事件A發(fā)生的次數(shù)種.61218m???故.選B.??18121612PA??（3）互斥事件）互斥事件——概率的加法原理概率的加法原理

4、在某種試驗中，不能同時發(fā)生的事件稱為互斥事件.如果A、B是互斥事件，那么：.??????PABPAPB???【例【例3】在一個袋子中裝有分別標注數(shù)字1，2，3，4，5的五個小球，這些小球除標注的數(shù)字外完全相同現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出的小球標注的數(shù)字之和為3或6的概率是（）ABCD31015110112【解析】【解析】設小球標注的數(shù)字之和為3與6的事件分別為A、B.顯然A與B不能同時成立，是互斥事件.由于基本事件總數(shù)事件A只有12=

5、3一種，；事件B有15=24=6兩種，.∵A與B互斥，2510.nC??.選A.??????1231010PABPAPB???????（4）對立事件）對立事件——兩互斥事件的特寫兩互斥事件的特寫在一次試驗中，如果事件A與B一定恰有一個發(fā)生，則稱事件A與B是對立事件.注意對立事件必然互斥，但是互斥事件不一定對立.一般地，記A的對立事件為.由于A與具有互補性，所以.這是簡化概率計算的基本公式.AA????1PAPB??【例【例4】8個籃球隊

6、中有2個強隊，先任意將這8個隊分成兩個組(每組4個隊)進行比賽，這兩個強隊被分在一個組內的概率是多少【解析】【解析】我們用a、b分別記八個隊中的兩個強隊.令C=“a隊與b隊分在同一組”，則=“a隊與b隊不在同一組”.Ca隊與b隊不在同一組，只能分成兩種情況：a隊在第一組，b隊在第二組，此時有CC＝C種分法；a隊在第二組，b隊在第363336習題精選精講33而這部分被重復計算一次，應該把重復計算的數(shù)據(jù)減去.和事件的正確計算方法是：.???

7、?????PABPAPBPAB?????【例【例7】某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有60%，參加過計算機培訓的有75%，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響（I）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；（II）任選3名下崗人員，求這3人中至少有2人參加過培養(yǎng)的概率【分析】【分析】在題設

8、的兩項培訓中，每個下崗人員都有3種選擇方法：參加1項、兩項或不參加培訓.所以僅根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)，無法判斷哪些是僅參加了一項培訓，哪些是兩項培訓都參加了的.所以本題屬于典型的計算和事件的題型.【解析】【解析】設事件A表示參加財會培訓，事件B表示參加計算機培訓，則表示同時參加兩項培訓.AB???????0.60.750.60.750.45.PAPBPAB????????（I）任選1名下崗人員，則該人參加過培訓的概率是：.????????0.60

9、.750.450.9PABPAPBPAB?????????（II）設事件C表示3人中至少有2人參加培訓，則事件表示3人中至多1人參加培訓.A根據(jù)（I），三人中無人參加培訓的概率是；而三人中恰1人參加培訓的概率是：??3110.90.001P???.這兩種情況互斥，??21230.90.10.027PC??????0.0010.0270.028PC????于是3人中至少有2人參加培訓的概率是??10.0280.972.PC???三類概率問

10、題的求解策略三類概率問題的求解策略對于一個概率題，我們首先要弄清它屬于哪一類型的概率，因為不同的類型需要采取不同類型的概率公式和求解方法；其次，要審清題意，注意問題中的關鍵語句，因為這些關鍵語句往往蘊含著解題的思路和方法。下面略舉數(shù)例談談幾種概率應用題的解題技巧和策略。一、可能性事件概率的求解策略一、可能性事件概率的求解策略對于可能性事件的概率問題，除了要用到排列、組合的知識來解決外，還要用到排列、組合的解題思路和方法，同時，在利用概率

11、的古典定義來求可能性事件的概率時，應注意按下列步驟進行：求出基本事件的總個數(shù)n②求出事件A中包含的基本事件的個數(shù)m③求出事件A的概率，即nmAP?)(例1甲、乙兩名學生參加某次英語知識競賽，該競賽共有15道不同的題，其中聽力題10個，判斷題5個，甲乙兩名學生依次各抽一題。分別求下列問題的概率：（1）甲抽到聽力題，乙抽到判斷題；（2）甲乙兩名學生至少有一人抽到聽力題。解析甲、乙依次抽一題的結果有（個）210114115??CCn（1）甲抽

12、到聽力題、乙抽到判斷結果有（個），故所求概率為；5015110??CCn215)(??mnAP（2）（用間接法）甲、乙兩名學生都抽不到聽力題的結果有，其概率為，從而甲乙兩名學生至201415??CCm212)(??mnAP少有一人抽到聽力題的概率為。21192121??二、互斥事件概率的求解策略二、互斥事件概率的求解策略對于互斥事件的概率問題，通常按下列步驟進行：①確定眾事件彼此互斥；②眾事件中有一個發(fā)生；先求出眾事件分別發(fā)生的概率，然