數(shù)域的判定

1、題目：數(shù)域的判定研究問(wèn)題：數(shù)域方法：定義法例題：例1.證明兩個(gè)數(shù)域之交是一個(gè)數(shù)域設(shè)A和B是兩個(gè)數(shù)域，若存在兩個(gè)數(shù)xy∈A∩B且y≠0則由于xy∈Axy∈Axy∈Bxy∈B所以xy∈A∩B.即A∩B是一個(gè)數(shù)域.例2.證明兩個(gè)數(shù)域“之并”未必是數(shù)域.如：A=x|x=ab√2ab∈QB=x|x=ab√3ab∈Q看它們的并集中分別取A、B中一個(gè)元素相加看還在并集里嗎事實(shí)證明是不一定的，所以兩個(gè)數(shù)域“之并”未必是數(shù)域例3.判斷下列說(shuō)法是否正確。（

2、1）自然數(shù)集N及整數(shù)集Z都不是數(shù)域。解：對(duì)的，自然數(shù)集和整數(shù)集不是數(shù)域，有理數(shù)集是數(shù)域，因?yàn)樽匀粩?shù)和整數(shù)不一定存在逆元aa（1）=1不滿足這一條。（2）奇數(shù)集不是數(shù)域。解：對(duì)的例4.證明多項(xiàng)式f(x)=1(x1)(x2)(x3)……(xn)在有理數(shù)域上不可約。方便起見(jiàn)不妨改為證明f(x)=(x1)(x2)(x3)...(xn)1不可約.用反證法假設(shè)f(x)=g(x)h(x)其中g(shù)(x)h(x)都是次數(shù)不小于1的有理系數(shù)多項(xiàng)式.由Gaus

3、s引理不妨設(shè)g(x)與h(x)都是首1的整系數(shù)多項(xiàng)式.依次帶入x=12...n可知g(k)h(k)=f(k)=1對(duì)k=12...n.而g(k)與h(k)都是整數(shù)可知g(k)和h(k)只能是1.且g(k)=1時(shí)h(k)=1而g(k)=1時(shí)h(k)=1.因此總有g(shù)(k)h(k)=0對(duì)k=12...n.多項(xiàng)式g(x)h(x)有n個(gè)不同的根但其次數(shù)n(g(x)與h(x)的次數(shù)都小于n)于是g(x)h(x)恒等于0但這與g(x)h(x)的最高次項(xiàng)

4、系數(shù)為1矛盾.所以f(x)不可約.例5.設(shè)A為數(shù)域P上的n階矩陣數(shù)a為A的n重特征值證明A=aE為數(shù)量矩陣由已知存在可逆矩陣Q滿足Q^1AQ=diag(aa...a)=aE所以A=Q(aE)Q^1=aQQ^1=aE所以對(duì)某個(gè)k≤n有(A^k)X=0從而也有(A^n)X=0.由B可對(duì)角化其特征向量構(gòu)成V的一組基.A^n在V的一組基上都取0所以A^n=0.例10.設(shè)A為數(shù)域P上的線性空間V的線性變換，證明：①A可逆則A無(wú)0特征值；②A可逆，

5、則A－1與A有相同的特征向量，若λ0為A的特征值，則λ01為A－1的特征值證明：（1）用反證法。若λ＝0是特征值，ξ是對(duì)應(yīng)的特征向量，那么：Aξ＝λξ＝0于是，一方面：A^(1)[Aξ]=A^(1)[0]=0另一方面：A^(1)[Aξ]=[A^(1)A]ξ=ξ≠0這就得出矛盾。因此，A可逆則A無(wú)0特征值。（2）設(shè)ξ是λ0對(duì)應(yīng)的特征向量，那么：Aξ＝λ0ξ兩邊作用A^(1)得：A^(1)[Aξ]=A^(1)λ0ξλ0A^(1)ξ=ξA^(