分圓多項(xiàng)式的算術(shù)性質(zhì)與數(shù)域上的平方和.pdf

1、本文主要研究分圓多項(xiàng)式的系數(shù)分布問題與雙二次數(shù)域的代數(shù)整數(shù)環(huán)上的平方和問題.具體內(nèi)容如下:
　　1.設(shè)n為正整數(shù)，分圓多項(xiàng)式φn(x)=Π1≤j≤n(j,n)=1（x-e2πij/n）=φ(n)∑k=0 a（n，k）xk，其中φ是Euler函數(shù).令A(yù)(n)=max{|a(n，k)|:0≤k≤φ（n）}，稱A(n)為Φn(x）的高度.如果A(n）=1，那么稱Φn(x）是平坦的.若n為三個(gè)不同奇素?cái)?shù)的乘積，則稱Φn(x)是三階分圓多項(xiàng)

2、式.本文的主要結(jié)果如下:
　　(1.1)給出了三階分圓多項(xiàng)式Φpqr(x）的系數(shù)a(pqr，r）的計(jì)算公式，其中p＜q＜r為奇素?cái)?shù).
　　(1.2)設(shè)奇素?cái)?shù)p＜q＜r滿足zr≡±1(mod pq)，其中z為正整數(shù).本文完全刻畫了z=3，4，5時(shí)，三階分圓多項(xiàng)式φpqr(x）的平坦性.
　　(1.3)設(shè)奇素?cái)?shù)p＜q＜r滿足p≡1(mod3)，g≡2p+2(mod3p)和r≡±3(mod pq)，本文證明了A(pqr)=3

3、.這給出了無窮多的素?cái)?shù)p，使得φpqr(x）的高度為3.
　　(1.4)設(shè)奇素?cái)?shù)p＜q＜r滿足q(≠)1(mod p)和r≡-2(mod pq)，本文構(gòu)造了具體的k，使得a（pqr，k）=-2.
　　(1.5)對于整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=c1xe1+…+ctxet，其中e1＜…＜et，c1…ct≠0，稱g(f)=max1≤i≤i{ei+1-ei}為f(x）的最大間距，并規(guī)定t=1時(shí)，g(f)=0.設(shè)p＜q為奇素?cái)?shù)，本文給出了g

4、（Φpq）=p-1的一個(gè)新證明.另外本文還證明了Φpq（x)的最大間距的個(gè)數(shù)為2[q/p]，其中[x]表示不大于x的最大整數(shù).
　　2.設(shè)K為一個(gè)代數(shù)數(shù)域，OK為其代數(shù)整數(shù)環(huán).令SK表示OK中可以表示為OK中元素平方和的所有元素的集合.設(shè)s(OK)為-1表成OK中元素的平方和所需最少元素的個(gè)數(shù)，并且以g（SK）表示最小的正整數(shù)t，使得SK中的每一個(gè)元素均是OK中t個(gè)元素的平方和.對于雙二次數(shù)域K=Q(√-m，√-n)，其中m≡n≡

5、3(mod4)為兩個(gè)不同的無平方因子的正整數(shù)，本文證明了如下三個(gè)結(jié)果:
　　(2.1)SK=OK.
　　(2.2)如果s(OK)=2，那么g(OK)=3.
　　(2.3)當(dāng)m的素因子個(gè)數(shù)比較少時(shí)，給出了g(OK)=3的一些充分條件.
　　關(guān)于雙二次數(shù)域整數(shù)環(huán)上的平方和的結(jié)果已經(jīng)發(fā)表在J.Number Theory(2014)上;關(guān)于分圓多項(xiàng)式的(1.4)的結(jié)果已經(jīng)發(fā)表在Bull.Korean Math.Soc.(